Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Пусть zeD(n+1). Имеем при
t = z2 п+2с~ы+1)/2
Zn+1 (t; Р) = ее°п+1*-2(п+1)'г 2 zn (ti; P) Zn (*a; P) =
= epz2 S _ (z1c~n/22"+1; p) Zn (z2c~n/22n+1; p) =
zi+z2=2z/ Ус
-"e'2|z"((47? + ")2"+V"";p)x
xZ"((w-")2"+'c""'S;P)'
Здесь w меняется с шагом An = сп/2 • 2~n~I, принимая
(2z \ 0n+l -n/2 *
такие значения, что выражения ± u j 4 с будут целыми четными числами, не
превосходящими по
ГАУССОВСКОЕ РЕШЕНИЕ
149
модулю 2П. Разобьем последнюю сумму на две части 2 z" ((у7 + и) 2"+1с
"/2; Р)Zn ((yf - м) х
X2n+1c-nh; р) = ерг2 2 2"((^= + и)х
Х2 п+1е-п/*
Р Z2
pj Z" - и j 2п+1с"в/*; р) +
| ,.z-((w+")2'tv",'p)x
I u\>--Yn 6У с
X Z" ((^= _ ы) 2п+1с~"/а; р) = 2, + 2,.
Исследуем вначале Еь Заметим, что при рассматриваемых и выражение -7= ±ug
Z)(n). Поэтому мы
1/С
можем воспользоваться Indi и подставить вместо Zn его представление
(4.10). Далее, в силу Ind(jn), Ind^
I В\п) (Р) (2c-1)nG2 (z; Р) I + I Bin) (P) (2с-г)^4 (z; p) | +
4- I I BiV (P) I (2е-2)пХГ I (*; P) | +1 <?<"> | 4- | R(n) | <
fe=3
<const.^/max fi(2n) (2^,1 | (2c~2)% (4.11)
I
\l<k<N /
где const зависит от N, но не зависит от п. Допустим, что лемма уже
доказана. Тогда все числа ((J) ограничены по модулю константой, не
зависящей от п, к? JJ, которую мы обозначим В. Поэтому (4.41) ->О при п -
> оо9 и мы можем разложить соответствующее выражение в 2i в ряд Тейлора
до членов 2-го порядка включительно. Получим
2Х = Ь\ (Р) f-j с("+1)/22-"-2еМ-2"о <" в-1** X
V 20д(Р)и(r) п/2п-71-1
150
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
X
N
1 - 2 в" (е" (w+u; f)+(ттг -а; р)) -_ (<?¦•> (^.+"о)+<?" (?-•if)) -
Здесь Т{п) - погрешность. Ясно, что Т{п) имеет порядок квадрата всего
выражения, раскладываемого в ряд. Поэтому из (4.11) получаем, что
| Т(п) | < const-В2 (2c~2)2nnN. (4.12)
Следующий шаг состоит в замене суммы на интеграл. При этом нам придется
распространить функции Д(п) и Т(п) на все значения аргумента. Мы будем
считать их кусочно-постоянными, принимающими постоянное значение на
каждом отрезке длины Дп. Погрешность, возникающую от замены суммы на
интеграл, обозначим г(\ \ Теперь можем написать
еа°(р)г221 = Х| (р) 2~"-2с(п+1)/2с 1/22-1 ]/X
х | УЪ№ J e-^du
о 1
- 2В[п) (р) {2c-1)nG,(ф + и; р]- 2В{п) (р) (2С-2)Пх
' С
щ р|- 2 B^Ki (2с + Р
+ 9<""(^+!1;Р) + Д<")(-)5 + В;Р)) +
+ ri">j = Ll (Р) 2_n_V(tm)+1)/2c1/22_1 V^W) X X (1 - Я(2П) (р) (2с-1)71 А
(Р) Ga - в[п){Р) (2с~2)пА (р) Gt-
j Ji(n)
ГАУССОВСКОЕ РЕШЕНИЕ
151
- | ЯЙРф) ^(2C-TmGu-AWQ(tm) -- А (Р) R(n) + т[п) + Г(Г} + г[п)).
Через rin) обозначен результат интегрирования Т{п\ а погрешность г2
появилась из-за того, что в определение оператора А входит интегрирование
по всей прямой, а в последнем выражении интегрирование
происходит только по | м I ^ -у- V п. В результате
получим
е°"(р)г \ = Li (р) 2_n_Vn+1)/2c1/22_1 X
X (1 - в[п) (2c~1)n+1G2 (z; р) - в[п) (2с~2)п+1 б4 (*; Р) --2 4"fe)(2c-
ft)^(2c-2mft(Z; Р)-
к=3
- Л (Р) Q(n) - Л (р) R(n) + Т[п) + rin) + г(ап)) -
= L2 (р) 2-"-*c("+4/sc-i/"2 +
X ехр {- В[п) (р) (2c-1)n+1G2(z; р) - S(4n) (2c"2)"+1 X X Gi (z; P)- |
В^(с~к+2Ш2с-Т+г02^; P) -
k=3
- A (P) Q(n) - A (P) R(n) + T[n' + r[n) + r(2n) + T(2])
Здесь T2'}- добавок, возникающий из-за разницы между 1 - е и е"8. Функция
Ж[})Д(П) определена и четна при zefl(n+1). Продолжим ее на всю прямую,
положив равной 0 вне Z)(n+1). Мы можем написать
А (Р) Д(п) = ( I b{VG2k (z; Р) + Q[n) (z; р)) Xj/n+1) (z),
\ k=0 J
$n)(*;P)=$n>(*; PJx^+dW,
где коэффициенты by? выбраны так, что
оо
J <?(1И) (*; Р) G2k(z; Р) e~^dz = 0,
~оо
152
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
При этом из неравенств | i?(n) | ^ Xln/i (2с 2)" и max | Gih (z; р) | ^
const • пк следует, что | I ^
^ const •nN'kT',i (2с_2)п, и
| $n) (z; p) | < const Л?п/2 (2c-2)". (4.13)
Теперь мы можем написать основные рекуррентные уравнения
В[п+1) = В{п) + 6(2П) {с2-1)п+1,
В[п+1) = В{п) + Ь(4п)(с2 2-1)п+\
вЦ+1) = вЯрс-ь+Х;1 + bif (c22-1)n+1^r"~\
3</c<iV,
Q<,n+1) = А ^ Q(U) + ^ д(п+1) = Т(П) + г(п) + 1п + щ-1),
г г ^ О/"-"l/" л
п+! = Ln2c г 2^ф) *
Из того, что | i?(n) | ^ Xin/2 (2с~2)п, легко следует, что I ^ 2fe} I ^
const -7iNkln/2 (2с~2)п. Поэтому, если п достаточно велико, то Вы+1)
удовлетворяет требуемым неравенствам, к = 2, ..., N. Постоянную A,i
выберем настолько близкой к 1, чтобы с% 1 > 1.
Исследуем теперь убывание @(п+1). Из рекуррентного уравнения, которому
удовлетворяют Q{n), видно, что
Q(n+1) = л"-"0+1 (р) (^("0)) + 2 Ап-Р (Р)
Р=п0
Обозначим 36% подпространство пространства "2?2(i?1, e~v|3z2), состоящее
из четных функций /, таких, что
j / (z) G2h (z; Р) е-^г\% = 0, Л = 0, 1 JV.
Ясно, что 36% инвариантно относительно действия one-
ГАУССОВСКОЕ РЕШЕНИЕ
153
ратора Л(р) и |[ A = 2с • Так как все Q* е
GE 5^JV> то
Ж"р(Р)(^р))е^
1л"-р (р) (<?[р)) 1 < (2C-"-1)n"p I е<р) II.
Лемма 1. Пусть функция t е <5^jv и U(z) I < 1 при всех 2. Пусть также 0 <
Мг < -g- In с, 0 < М2 <
<|/ ~~j-1 где const будет указана в ходе доказательства. Тогда при
достаточно больших N и при любом р > 1 справедливо неравенство
