Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
удается" построить, модифицируя методы теории инвариантных многообразий
неподвижных точек нелинейных преобразований.
Для того чтобы показать, как это делается, заметим, что теория возмущений
по параметру е = У2 - с позволяет написать выражение для неподвижной
точки с точностью до любой степени е. Фактически достаточно написать его
с точностью до е2. Мы получим выражение
- - z2-eaGAz)- г^Лг)
gs(z) = e 2 , ge(z) = g(z; р0),
с- Y 2 - е,
где ?P%{z) - некоторый полином восьмой степени. Та-же теория возмущений
показывает, что спектр дифференциала преобразования около искомого
решения будет иметь одно собственное значение, меньшее 1 (точнее, порядка
1 - const • е), а весь остальной спектр будет лежать в круге радиуса,
меньшего 1 и не зависящего от е. Это означает, что искомое решение будет
неустойчивой, но гиперболической неподвижной точкой нашего
преобразования.
Метод нахождения такой точки состоит в следующем: возьмем какую-либо
начальную кривую, которая идет по направлению, близкому к направлению
неустойчивого собственного вектора искомой неподвижной точки (опять-таки
найденного по теории возмущений),
ОБЛАСТЬ C<V2
165
и достаточно близка к ней. Такую кривую нетрудно построить и в нашем
случае. Если ее выбрать достаточно удачно, то можно надеяться, что она
пересечет устойчивое многообразие искомой точки*) и притом только один
раз. Из этого представления вытекает естественный путь построения
неподвижной точки: выбрав начальную кривую, будем применять к ней
преобразование Тс и у образа оставлять только часть, лежащую в выбранной
заранее достаточно малой окрестности ge. Тогда на начальной кривой будет
только одна точка, которая при всех итерациях останется в этой малой
окрестности. Эта точка и есть пересечение начальной кривой с устойчивой
сепаратрисой, и под действием степеней Тс она будет сходиться к искомой
неподвижной точке.
Описанный способ рассуждений проходит в нашем случае. Он приводит к
доказательству существования решения h(z), которое при малых е на
бесконечности
2
убывает как ехр{-const • eze}, б = г--- ~ 4. Следова-
"2
тельно, плотность предельного распределения вероятностей h(z; р) убывает
на больших расстояниях быстрее, чем гауссовская плотность.
Критические индексы теперь уже зависят от с. Оказалось, что если положить
размерность системы d = 2(1 - log2 с)"1, то индекс п = 0, у = log^ jL ,
со =
I с
= - logj^ с, > 1 - неустойчивое собственное значение, отвечающее
найденному решению. В [48] были найдены первые члены разложения по
параметру е. В интересной работе П. Колле и Дж. Экмана [54] было
показано, что бесконечно дифференцируема по е. В связи с описанными
результатами возникают две естественные проблемы:
1. Показать, что построенная с помощью теории возмущений ветвь решений
gz_ продолжается на самом деле до конца, т. е. до е = У2; численный счет,
проведенный П. М. Блехером и описанный в [48], дает вес-
*) Напомним, что устойчивым многообразием неподвижной точки
преобразования называется многообразие, состоящее из таких точек, которые
под действием итераций преобразования сходятся к этой точке.
16G
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
кие основания для предположения о том, что это действительно так. Вполне
возможно, что для строгого математического решения проблемы необходимо
будет использовать результаты вычислений на ЭВМ.
2. Исследовать аналитическую природу Х\ в окрестности 8 = 0. Не
исключено, в частности, что формальный ряд по 8 для Х\ допускает
суммирование по Боре-лю. Выяснение этого вопроса было бы вообще важно для
изучения природы 8-разложений в теории фазовых переходов.
§ 5. Автомодельные распределения вероятностей
Как уже указывалось в § 1 этой главы, ферромагнитная критическая точка
$сг характеризуется тем, что при = [Зет корреляции ^ф(^1 )ф(^г2) убывают
настолько медленно, что 2?(Ф(ф(Ю))2 ~ const • I V\a при V 00, где а -
параметр, 1 < а < 2. Средние значения вычисляются с помощью некоторого
предельного распределения Гиббса Рь отвечающего гамильтониану II.
Предположим, что Р\ трансляционно-инвариантно. Разобьем решетку Zd на
кубы Д,Дх), содержащие kd точек, Aк(х) = {у е Zd : кх{ ж у{ < к(х{ + 1),
? = 1, ..., d). При этом набор кубов Ак(х) снова образует исходную
1
решетку. Положим фй (х) = \ <р {у) и обо-
к " ьедй(.д
значим через Ph индуцированное распределение вероятностей случайных
величин <рк(х). Ясно, что Рк также трансляционно-инвариантно. В теории
критической точки делается естественное предположение, состоящее в том,
что распределения вероятностей Рк слабо сходятся к пределу при к -+¦ оо.
Предельное распределение Q уже слабо зависит от исходного гамильтониана
II и является в определенном смысле универсальным.
Следуя обычному подходу в теории предельных теорем теории вероятностей,
мы качнем с выяснения возможного вида предельного распределения Q.
Обозначим через 2ft векторное пространство вещественнозначных
последовательностей ср = {ср(л:), хеМ. На 2ft естественно действует
