Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
относительно той же группы. Из основной теоремы сле/дует,
{TlF1, F1)' ^{T\F\ F1)'.
{f)$\F1)'^{ТУРУТ1)'. (3.14)
Но Т\ есть оператор умножения на функцию
sey^1) J
= ехр
а. Го- оператор умножения на такую же функцию
без множителя ехр
Так как
отсюда следует соотно-
132
РЕШЕТЧАТЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 3
что ЕI ф (s) - ф (0) |2 имеет порядок Р"1 при s-+°° и не стремится к 2
при s -*• оо. Это означает, что предел lim <p(s) = ф, существующий с
Р-вероятно-
V-oo У ~у
стью 1 в силу эргодической теоремы Биркгофа -- Хин-чина, отличен от 0. Но
тогда распределение "неэрго-
дично" по отношению к группе S1, т. е. Р = §Pgdg,
s1
где Рё - условное распределение, индуцированное распределением Р_при
фиксированном значении направления вектора ф. Можно показать, что Pg
также будет предельным распределением Гиббса, и мы действительно получаем
существование континуального семейства предельных распределений Гиббса,
параметризованных точками группы S1. Это и есть спонтанное нарушение
непрерывной симметрии S1.
Библиографические замечания к главе 3
1. Общие вопросы спонтанного нарушения непрерывной симметрии и появление
так называемых голдстоуновских частиц широко обсуждается в физической
литературе. Упомянем в качестве одного из многих примеров лекции В. Б.
Берестец-кого [4].
2. Отсутствие дальнего порядка в некоторых двумерных классических моделях
с непрерывной симметрией было показано Н. Мермином и X. Вагнером на
основании выведенного ими неравенства, представляющего собой следствие
известного неравенства Боголюбова (см. [39]). Теорему Добрушина -
Шлосмана см. в [56].
3. Теорема Фрелиха - Саймона - Спенсера была доказана в их работе [64].
Подробное обсуждение вместе с новыми приложениями основного метода
содержится в ряде статей и обзоров Фрелиха [65-67]. В частности, в [65]
показано, что в двумерных системах с непрерывной симметрией и дальнодей-
ствующими потенциалами может появляться дальний порядок при больших р.
4. Фактически при доказательстве теоремы Добрушина - Шлосмана (см. стр.
112) была выведена предельная теорема теории вероятностей, принадлежащая
В. А. Статулявичусу (см. "Теория вероятностей и ее применения", 1965, т.
10, в. 3, с, 645).
ГЛАВА 4
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА И МЕТОД РЕНОРМГРУППЫ
§ 1. Введение
Результаты главы 2 дают представление о структуре фазовых диаграмм
классических решетчатых моделей, т. е. о структуре множества
трансляционно-инвариантных или периодических предельных распределений
Гиббса, отвечающих гамильтонианам $Н при больших р. Наоборот, при малых
предельное распределение Гиббса, отвечающее гамильтониану ^Я, при весьма
общих предположениях единственно. Ясно, что при изменении появятся такие
значения рсГ1 называемые критическими, в окрестности которых структура
множества трансляционно-инвариантных или периодических предельных
распределений Гиббса меняется. Рассмотрим в качестве примера
ферромагнитные модели, т. е. модели, у которых имеется два трансляционно-
инвариантных основных периодических состояния, удовлетворяющих условию
Пайерлса, переходящих друг в друга при замене знака каждой переменной на
противоположный. В этом случае естественно ввести следующее определение.
Определение 4.1. Ферромагнитной критической точкой называется такое число
рсг, что в некоторой его окрестности для любого < |}Сг трансляционно-
инвариантное предельное распределение Гиббса единственно, а при ? > f}cr
имеется ровно два трансляционно-инвариантных предельных распределения
Гиббса, причем средние значения ф(#) для этих двух распределений
различны.
134
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
Можно было бы ввести аналогичное определение для антиферромагнитной
критической точки или для критической точки, связанной с непериодическим
основным состоянием, но мы не будем этого делать, поскольку здесь пока
еще нет строгих результатов.
Примеры типа двумерной модели Изинга показывают, что при 0 = Рог
предельное распределение Гиббса для гамильтониана $СТН единственно, но
случайные величины <p(.r) нельзя ни в каком смысле считать
слабозависимыми случайными величинами, изучаемыми в классической теории
вероятностей. Широко распространенное в физической литературе допущение
состоит в том, что совместное распределение подобных случайных величин
удовлетворяет определенным условиям масштабной инвариантности или
подобия. Это допущение представляет и гораздо более общий интерес, ибо
оно показывает, что нарушение непрерывности или гладкости морфологических
процессов часто сопровождается появлением величин, подчиняющихся гипотезе
подобия.
Мы введем сейчас некоторые параметры, характеризующие структуру множества
трансляционно-инвариантных предельных распределений Гиббса в окрестности
ферромагнитной критической точки рсг.
1. Пусть при [5 = Per трансляционно-инвариантное предельное
распределение Гиббса Ро таково,' что
Еф) = 0, Ец> (х) • Ф (у) ~ ПрИ \\х _ у\\ оо?
где d - размерность системы. Причину того, почему показатель степени
