Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
|(лр0о)|<лМ1Р(№+11
при Ы < Л/гУpiV.
Доказательство. Следующие утверждения
очевидны:
1) если U(z)l<l, то найдется такая абсолютная постоянная L\ > 1, что
\(At){z)\^L1, ||(^)(z)|<Li;
2) ||^4||<(2c-^-i)p||i||.
Здесь имеется в виду норма в гильбертовом пространстве 2 2(Я1, e-vf"*2).
Допустим теперь, что при каком-то z0, |z0|^ ^ М2 ]/ pN, выполняется
неравенство (4pt)(z0)>e-Mip(W+1).
Случай, когда (Лрг)(яо) отрицательно, рассматривается аналогично. Из 1)
следует, что
Цлч)\<ц.
Построим функцию giz):
¦ ч -M-,p(W+l)
(ДЧ) (z0)-Lp | z-z01, |z_zo|^f -----------1
О в остальных случаях.
154
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
1ГЛ. 4
Тогда 0 giz) "S (Apt)(z) при | z - zQ | ^ е Му)?-?>_. •=зГ и поэтому
/ ~
(2с-я-1)р^|/ \ [(^p*)(z)]2e-Pv^z>
^ min e~№z21/ g2 (z) dz ^ l*-*ol<r J
> const - exp {- const (M2 VpN + Г)2} re"Mip(iV+1).
Возьмем N настолько большим, что Г ^
XS М2 ехр |-Мгр (N + 1)J. Тогда ехр{-constX
X (м, V~pN + Г)2) не меньше, чем ехр {-const X X M\pN), а все выражение
не меньше, чем
ехр {- const -M\pN - р • const - 2Мгр (ЛГ + 1) -f const}.
Здесь выражения, содержащие Lb включены в const. Отсюда р (N + 1) Inc +
Р-const ^ const-M\pN -\-+ 2Мгр {N + 1) + const. При больших N левая часть
эквивалентна piVlnc. При нашем выборе Ми М2 правая часть при больших N
меньше левой. Полученное противоречие доказывает лемму.
Замечание. Доказанная лемма может рассматриваться как аналог теоремы
тауберова типа для полиномов Эрмита. Она показывает, что если
коэффициенты Фурье по полиномам Эрмита малы, то функция также достаточно
мала на отрезке, зависящем от малости коэффициентов Фурье.
С помощью леммы 1 можно теперь оценить ()(п+1). Пусть щ = [паЛ при
некотором со, 0 < со < 1. Тогда
при р ^ щ п - р ^ (1 - со) /г, М2 V (п - Р) N ^
>м2у\Г - а>) N ¦ У^п. Выберем N столь большим, что MtVJx - со) N>D. Мы
можем при этом условии оценить с помощью леммы Ап~р ф) (?iP), что даст
Я? (2с-*у ехр {- М1 (п - р) (.N + 1)}
< К (2c~Y ехр {- пМ1 (1 - со){N + 1)}.
При любом о можно так выбрать N, что
ГАУССОВСКОЕ РЕШЕНИЕ
155
ехр { - Мхсо (N + 1)}^ X? (2с-2). Аналогичная оценка справедлива при р =
щ. В результате получим
j A11'71 o+1 (Р) |+2I Ап~р (р) Q[p) | <
P=n0+1
<1 const Xi (Хх2с_2)п.
При р, < р < п, имеем | Ап~~р (p).(?iP) | ^ Li~p | (>iP)
^ const • ?Г(1_С0)?г^Х?р/2 (2с~2)р. Суммирование этой оценки по р, щ < р
< п, дает в результате const-(2с-2)П1. Выберем со столь близким к 1,
чтобы (2с-2)(r) < (2с-2). Тогда при
достаточно больших п последнее выражение будет меньше, чем y Ях+1 (2c-
2)n+1. Складывая это с полученной
уже оценкой для An_n°+1(P) Q(no) 2 An~p(^)QiP\
Р=п0
получим требуемую оценку для Q{n+l). Заметим также, что ^ ^in/2 (2с-2)п
при zefln+i. Доказа-
тельство проводится так же, как доказательство предыдущей оценки с
отличием в том, что член (z)
должен быть оценен отдельно. Для него можем написать
N
±A($)R(n)- ^b[fG2k(z;f>) <
k-0
^ const • n2N (2c"2)
Теперь займемся оценкой всех погрешностей. Имеем из (4.12) и предыдущих
рассмотрений
| Г(1П | ^ L± const -B2nN (2c~2)2n =
= Lx const •B2nN (2c"2)n (2c"2)n.
Выберем Xi так, чтобы 2c-2 <C Я?/2 <C 1. Тогда при достаточно больших п
| rin) | < 1 %1(п+1Ш (2c-2)"+i. (4.14)
156 ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА [ГЛ. 4
Погрешность г[п) возникает от замены римановой суммы на интеграл. Эта
погрешность благодаря выбору интерполяционной формулы будет очень малой в
случае, когда суммируется произведение экспоненты на многочлен
(достаточен порядок Ап = сп2~2п~2). При замене суммы на интеграл в
выражении, содержащем Q{n), Rin), Tin), погрешность может быть оценена
произведением максимума этой величины на шаг интегрирования Ап =
сп/22~п~К Кроме того, из предыдущих рассуждений вытекает простая оценка
для производной Из этих оценок получаем, что
| г{п) I < const • [А,? (2с-*)я Ап + Ап].
Перейдем к оценке r2n). Когда речь идет о продол-
I I ^ D л /- жении интеграла с отрезка | и | ^ -- у п на всю пря-
6 ус
мую от выражения, содержащего произведение многочлена степени не выше 2N,
на экспоненту, то возникающая при этом погрешность не превосходит
C1nNe~'°2D п,где Сi зависит от N, а Сч от N не зависит. Выберем D столь
большим, чтобы ехр {- D2C2}< <А,?(2с-2). Тогда для любого N найдется п(Ю
такое,
(71)
что обсуждаемая часть погрешности г2 не превзойдет A|n (2с~2)п пр жп^пШ).
Чуть-чуть тоньше следует рассуждать при исследовании погрешности,
возникающей от интегрирования Q{n). Примем опять во внимание, что Q{n) =
72 -1
_ дп-п0 Q(n0) ^ An~pQip\ Как уже было показано
р=п0
(см. (4.13)), | Q[p) | < const-р**Мр1* (2с-")* , поэтому
|4n-p^)|<Lr~pconst -р* X?p/2(2c-*)P<const • L? X
( 71)
Х(2c~2)v. Следовательно, часть погрешности г2 , возникающая от слагаемого
An~pQ[p\ не превосходит const • Lie~D2 const-nW2iv^P/2 ^c-z)p.
Просуммировав по p, опять-таки получим, что если D достаточно большое
(больше некоторой абсолютной констан-
ГАУССОВСКОЕ РЕШЕНИЕ
157
ты), то при достаточно больших п погрешность г2 будет меньше, чем ^
