Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
гамильтонианов, удовлетворяющих равенству Я(Ф(Ч))=Я ф^7По^,есть замкнутое
подмножество этого пространства. Топология, которая имеется в виду, есть
индуцированная топология на этом подмножестве.
142
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. -4
Опишем теперь подход, общепринятый в физической литературе, для решения
поставленной задачи. Будем рассматривать (4.4) как нелинейное
преобразование Г(р), переводящее gn-i(z; р) в gn(z; р). Рассмотрим кривую
{g(z; p)}=g (как однопараметрическую функцию р) решений (4.5). Каждая
точка g(z; р) этой кривой является неподвижной точкой нелинейного
преобразования ТЧр): g(z; ft) = T(fi)g(z; p). Как в обычной теории
нелинейных отображений, исследуем g(z; р) на устойчивость в линейном
приближении и предположим, что касательное пространство в точке g(z; р)
состоит из одномерного неустойчивого подпространства и устойчивого
подпространства коразмерности 1. В конечномерной теории из этого следует,
что через каждую точку g(z; р) проходит устойчивое подмногообразие Ги)(р)
этой точки коразмерности 1, состоящее из таких g\ что Tn(p)g' ->¦ g(z; р)
при Объедине-
ние этих подмногообразий по всем р представляет собой некоторую
окрестность кривой g.
Рассмотрим ветвь затравочных распределений ?n0 = {gn0(z; Р)}. Из
приведенной геометрической картины ясно, что рсг определяется тем, что
gn0(z; Per) <= е Г(8) (рсг). Накопленный опыт теории нелинейных
преобразований показывает, что явное построение устойчивых многообразий
T(s)(p), как правило, невозможно, поскольку они являются решениями
сложных функциональных уравнений, для построения которых применяется тот
или иной метод последовательных приближений, приводящий только к
доказательству существования таких многообразий. То, что обычно известно
и чего достаточно для большинства задач,- это касательное пространство
2Г{&)($) к Г(5)(р) в точке g(z; р), порожденное устойчивыми собственными
векторами линеаризованной задачи. Объединение таких касательных
пространств также содержит окрестность g.
Предположим, что щ велико и начальный гамильтониан выбран так, что кривая
gn0 достаточно близка к кривой g, и мы можем рассмотреть функцию р =
А(р), определенную соотношением gn0 (z; Р) Если
считать, что дает приблизительное представление
ГАУССОВСКОЕ РЕШЕНИЕ
143
о Гр'\ то приближенным значением для рсг является решение уравнения р =
Я(р). В случае термодинамически устойчивого решения в окрестности
приближенного решения уравнения р = Я(р), определяемого затравочным
гамильтонианом, должна лежать истинная критическая точка.
Приведенные выше рассуждения надо рассматривать как эвристические
соображения, приводящие нас к следующей программе действий:
1) имея решения g(z; р)-, исследовать их на устойчивость в линейном
приближении и найти среди них те, которым отвечает только одно
неустойчивое направление:
2) построить начальный гамильтониан HUq так, чтобы отвечающая ему функция
Я(р) имела бы транс-версальное пересечение с диагональю р = Р;
3) показать, что найдется точка рсг, близкая к решению уравнения р =
Я(р), для которой gn(z; рсг)
giz; р);
4) исследовать поведение gn(z; р) при р, близких к рсг.
Ниже мы покажем, как эта программа проводится для некоторых частных
решений (4.6).
§ 3. Гауссовское решение
Уравнение (4.5), (4.5') имеет при любом
с*, 1 < с < 2, гауссовское решение g(o) (z; Р) ==
V
ехр{- a0(p)z2}, a0 (р) = рс/(2-с). В со-
ответствии с описанной программой мы должны начать с анализа устойчивости
этого решения. Несколько проще иметь дело с уравнением (4.6). Полагая в
(4.6) giz; р) = ехр {- a0($)z2}hiz; р), получим
h (z; р) =
оо •
= j ехр {- 2а0 (Р) и2} h[~^c + u)h['yj ~~ (Р)й.
(4.7)
144
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
Гауссовскому решению соответствует решение (4.7) h0(z; Р) = С(Р) =
разных р также связаны соотношением
то достаточно в (4.7) рассматривать р0, при котором 2а0(р) = 1/2. По этой
причине всюду ниже аргумент Ро опущен. Для исследования устойчивости
положим
h (z) = h0 (z) -f- eG (z) = =. -f- eG (z) и напишем
у 2я
Q(h0(z) + eG(z)) = Q(h0(z)) + eA(G(z)) + .. ,
где многоточием отмечены члены более высокого порядка по е. Линейный
оператор А есть дифференциал нелинейного преобразования Q = Q($о). В
данном случае он представляет собой известный интегральный оператор
Гаусса (см. Г. Бейтмен и А. Эрдейи "Высшие трансцендентные функции".- М.:
Наука, 1966)
оо
(AG) (z) = -2=- j е-"2/2? М=- + и ) du. (4.8)
- оо
Ниже нам понадобится также оператор Жр), определенный при любом р
равенством
<Л(Р))б) (*) =
_______ оо
-2/2^1 • + .W (4.8')
- ОО
Ясно, что если G(z) = zn +..полином степени п, то AG - также полином
степени п, коэффициент которого при zn равен 2с~п/2. Отсюда вытекает, что
при каждом п можно построить полином Gn степени п, являющийся собственным
вектором оператора А с собственным значением Хп = 2с~п12.
Покажем, что Gn является полиномом Эрмита, строящимся по гауссовскому
распределению с плотностью ехр (- !- z2\. В самом деле, заметим,
