Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Е - знак математического ожидания по отношению к распределению Pv*).
Замечания:
1. 'Из приводимого доказательства следует значение
ре = d j ... j ( 2 (1 - COS pk)\ йрг... dpd.
- Я - Я \k-1 /
2. Теорема обобщается на системы с гамильтонианом
Ну = - 2 ?4*1 - sa) (ф (*i). Ф (*s))
si,s2eV
с потенциалом С/, имеющим конечный радиус взаимодействия и таким, что
mt) > о, U(t) = U(tu t2, ..., td) = U(±t{, ±t2, ..., ±td).
Доказательство. Пусть V = Vn, p = - g, ge s 7,
ф(т)(р) = | F|~1/2 2 exp {г (s, р)}-ф<т> (*),
sev
где ф(т)Ы - т-к координата ф(s) ^ Sd~l cz Rd, 1<
^m^d. Тогда ф(т)(р) = ф(т)(- p), Жф(т)(р)ф(т)(р')) = = 0, если р + р'?= 0
(mod2л).
Основная лемма. 1?(ф(ТЛ)(р) • ф(т)(- р)) <
d
($Ер)-\ где Ер = 2 (1 - cosPj), wi = 1, . .., d.
j=i
*) Приводимое ниже доказательство рассказывалось Б. Саймоном на IV
Международном симпозиуме по теории информации в Репино, июнь 1976 г.
Обработка доклада принадлежит П. М. Блехеру. Наш текст близко следует
тексту Блехера.
§ 3] ТЕОРЕМА САЙМОНА - СПЕНСЕРА - ФРЕЛИХА 123
Вывод теоремы из основной леммы.
Имеем
||фу|р.|7| = |$(0)|2= i |ф(т)(0)I2.
771-1
Из равенства Парсеваля
S 1ф(р)1Г= Х||ф(")1Р,
pev* sey
где V* =|р: р = у|. Так как ll<p(s)ll = 1, то
правая часть равна |F|. Следовательно,
IУ | = X IIФ ip) If + IIФ (0) ||2 =
реу*,р;*о
= S 1!ф(р)|2 + 1^|||фуГ.
pev*, р^=о
Возьмем от обеих частей последнего равенства среднее по распределению Pv
и воспользуемся утверждением основной леммы:
I Г| (1-я (|фу P))"i S фЕР)-\
реу*,р^о
я я
При d>3 интеграл J ... J Ep1dp1 ... dpd сходится и
-Я -я
я я
|F|_1 2 ... \ E?dPl...dPd.
реУ*,р^о
Поэтому
Л ИХ
limd-^dlqpvDXCeP"1, c0 = d f ... f
-я -я
Иными словами,
lim EI фу Ц2 > 1 - c0p"\
У-*оо
Полагая (}c = Со, получим утверждение теоремы.
Доказательство основной леммы. Обозначим Vv множество единичных ребер в
объеме V. Каждое такое ребро задается парой ($, к), s^V и к
124
РЕШЕТЧАТЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 3
соответствует единичному вектору = (0, ..., 0,1,
^ '
О, ..., 0). Пусть h(s, к) - произвольная функция на Уг со значениями в
Д1, ХеД1. Положим при любом т, 1 < нг < d,
h ({А (*, к)}) =
= Е ( ехр ( ± 2 _ А (*, Л) (ф("*) (s + 6ft)
- ф<") (*))')).
(s,fe)sVr /
Имеет место следующая основная оценка:
К "А (*,*)})< ехр {Р"1** 2 |A(s,A)|s
\ (s,k)*=V-p
Вывод основной леммы из основной оценки. Запишем
^h({h(s,k)})
= 2 h(s,k) Е (ф(т> (s + Sft) - Ф(т) (s)) =
(s,ft)evr
= 2 A (s, /с) (?Ут> (s + bk) - ?ф<"" (s)) = 0,
(s,fe)eVp
ввиду периодических граничных условий. Поэтому из основной оценки
следует, что
а2
({А (",*)})
<
Я"==0
<*2
А=о
<J5expfA"p-1 2 |Aa(S,A)
dA ^ (s,fc)eVr
или
Я 2 A (S, к) (ф<т) (* + 8*) - ф<*> (")) I2 <
(s,wevr j
< 2р-1 2 | А (*, А) Iе. (3.8)
(s,ft)SVr
Воспользуемся последним неравенством при h (s, к) = = Re (el(p'(s+efc)) -
et(p's)). Введем оператор Vk
g={g(*)> se7}^Vn? = {?(s + ^)-?(s). s^F},
§ 3] ТЕОРЕМА САЙМОНА - СПЕНСЕРА - ФРЕЛИХА 125
и пусть
hk = {h{s,k)}, ф<т> = {ф<т>(5)},
(К, Ф(т)) = 2 к) ф<т> (s).
sev
Тогда hh = Re yfeei(p's> и
2 h {s, к) (ф(") (s + 6ft) - ф<т> (")) =
(s,k)evr
= Re 2 {Vkei(p's), Vh?m)) = Re 2 (v*Vfte*(P's\ Ф<т)) =
к к
= Re (e*<p.s>, ф(т1) 2(2 - eiPfe - e~ipfc) =
h
= 2 | F |1/2 Re $(m) (p) 2 (1 - cos pft) =
fe=l
= 2?p|F|1/2Re$(m)(p). Таким образом, левая часть (3.8) равна L - A\V \Е%-
Е (Re ф(т) (р))2
ИЛИ
4|F|?2.?(Re^m)(p))2<
<2ГХ 2 (Re (^(p,(s+eft)) - eitp,s)))2.
s,ft)
Аналогичные рассуждения показывают, что если воспользоваться неравенством
(3.8) при h (s, к) = = Im(e^Pi^s+6ft)) - то можно получить
оценку
для мнимых частей
4|F|?2Z?(lm$(m)(p))2<
< 2Г1 2 (Im (е{(р-8+6й) - ei(p,s>))2.
(в,w
Складывая эти оценки, получим
4|F|?2?|$(m)(p) |2<
< 2р-1 2 | в*(р'*+в*) - ei(p's) |2 =
(S.ft)
= 2ГХ 2 I e*Pft - 112 = 4р-11 F12 (1 - cospft) =
(s,ft) k
= 4Г1|Г|^р.
126
РЕШЕТЧАТЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ* 3
Таким образом,
я|ф(т)(р)
Основная лемма доказана.
Доказательство основной оценки. Если переобозначить %h(s, к) через his,
к), то задача сводится к частному случаю Я = 1. Далее, по определению
Л р (*.*)" =
= Z 1 Г ехр |- |3 2 (ф (5)? Ф (5 + $й)) 4-
+ 2 h (s, к) (ф<т> {s + 6л) - ф(ш> (s))l П<Иф("))*
J sev
||2IX
Z = j exp {- 21! Ф (* + 6h) - Ф (*) II2
хП do (ф (s)) exp {const | V |}.
SGV J
Так как
- (ф (s), ф (s + 6ft)) =
= 4 ((Ф (* + eft) - ф (s), Ф (s + 6ft) - Ф (s)) -
2
- 4 (s + 6ft), Ф (* + 6Й)) + (Ф (s), ф ("))] =
= 4 и ф + 6й) - ф (s) ip-i,
то величину I\{{h(s, к)}) можно записать в виде
Ji ({*(*,*)" =
= Z 1 f exp | ^ IIФ (5 + 8ь) - Ф (s) ||2 4-
l (s,fe)
+ 2 (fe (s, *), (Ф (s + 6ft)- ф (s)))l П da (Ф (s))r
(S,ft) J S
где через Ms, к) обозначен вектор (0, ..О, h (s, к)*
§ 3] ТЕОРЕМА САЙМОНА - СПЕНСЕРА - ФРЕЛИХА
127
2)
X
О, ..0). Отсюда /,({*(",*)" =
= Ъ~х J ехр 2 ||ф (s + М - Ф (s) - у ^ (si к)
X П da (ф (")) J ({h (s, к)}),
SG7
/({fe(S,/c)}) = expfr1 S | Л (s, ft) |*],
I (s,k) )
совпадает с правой частью доказываемой нами основной оценки. Таким
образом, основная оценка будет доказана, если мы установим, что
