Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
= H{%)+h 2 (T(si) -T(S2)" T(si) -Т("2))-
||sl"s2l|=1
Нетрудно проверить, что при d = 2 любое основное состояние г|)-
неустойчиво, а при d> 3, наоборот, устойчиво.
Основная гипотеза, касающаяся рассматриваемого класса решетчатых систем,
состоит в том, что при больших р не существует предельных распределений
Гиббса, являющихся малыми возмущениями неустойчивых основных состояний и,
наоборот, для устойчивых основных состояний такие предельные
распределения Гиббса существуют.
В этой главе мы приведем доказательства двух важных результатов в
поддержку этой гипотезы. В § 2 будет доказана теорема Добрушина -
Шлосмана о том, что у двумерных систем с непрерывной симметрией при
достаточно общих условиях всякое предельное распределение Гиббса
инвариантно относительно группы G. Этот результат следует рассматривать
как уточнение известного неравенства Мермина - Вагнера, из которого
вытекает инвариантность бинарной корреляционной функции относительно
группы G. В параграфе 3 приводится теорема Саймона - Спенсера - Фре-лиха
о том, что при d > 3 у классической модели Гейзенберга при больших &
существует дальний порядок,
112
РЕШЕТЧАТЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 3
фактически означающий существование предельных распределений Гиббса,
являющихся малыми возмущениями основных состояний г[)ф.
§ 2. Отсутствие спонтанного нарушения непрерывной симметрии в двумерных
моделях
Пусть Ф = G - единичная окружность, рассматриваемая как компактная
абелева группа в мультипликативной записи, р, - мера Хаара на G.
Рассмотрим классическую решетчатую двумерную модель с трансляционно-
инвариантным потенциалом t/CqpCW^U4))) конечного радиуса взаимодействия
R. Предположим, что потенциал U - дважды непрерывно-дифференцируемая
функция своих аргументов и
д2и
F} =
0 и ^ т / ^
шах д-- ч -гт~г L/,
(tx) (t2) ^ v /
Теорема Добрушина - Шлосмана ([56]), Всякое предельное распределение
Гиббса, отвечающее гамильтониану рЯ, 0 ^ $<°°, инвариантно относительно
группы G.
Доказательство. Достаточно рассмотреть ^ = 1. Введем квадраты Уп, п = 1,
2, ..., Уп = {/ = (?ь fe) е eZ2, Uil^/г, Для любых целых чисел я0,
ттг, щ < m, введем слои
Уп0, / = ^
^Л+по - ^2(j-l)R+n0i 7 "-2, • • *, Wi;
У 77i Я - Z2 УгтН+Пд? J* = 771 -f- 1.
Имеет место следующее неравенство:
| p{gy {Fl) I Ф (^m+l)} - Г {Ф (Л) I Ф (^m+l)} I <
< Km-vp {ф(Г1)1ф(Гш+1)} (3.3)
для любых конфигураций <ptFi), <p(Fm+i) и любого g*=G. Здесь К, у -
некоторые положительные постоянные, не зависящие от конфигураций и т. Из
(3.3) вытекает утверждение теоремы. В самом деле, для любого измеримого
подмножества J?<=Q(Fn0) из (3.3) получаем для любого предельного
распределения Гиббса Р, интегрируя по условиям:
\P{gm-PW)\ <Кт-\
§ 2] ОТСУТСТВИЕ СПОНТАННОГО НАРУШЕНИЯ ИЗ
Устремив т-^ оо, получим, что PigFS) = РШ}, т. е. инвариантность Р
относительно G. Таким образом, дело сводится к доказательству (3.3).
Идея доказательства неравенства (3.3) состоит в следующем. Мы хотим
показать, что условная плотность распределения вероятности конфигурации
gq>(Fi) при фиксированной конфигурации <plFm+i) почти не зависит от g.
Справедливо более сильное утверждение, которое мы сейчас приведем и
докажем.
Рассмотрим пространство точки которого / имеют вид f = {<p(F\), ф(^2),
..(p(Fm)}. Ясно, что ЗГ легко превратить в измеримое пространство, и
условное распределение Гиббса при фиксированной фСРт-ц) порождает
распределение вероятностей на ST. Построим измеримое разбиение
считая, что f = {q>(F\),
Ф(Р2), ..., ф(^Ттп)) ~ /' = {ф,(/г1), ..., ф'СРш)}, если найдутся такие g
1, g<2, ..gm^G, при которых ф'(^) = = giq)(Fi), i= 1, ..., т. Нетрудно
проверить, что это есть действительно отношение эквивалентности,
определяющее разбиение ? пространства FT. Если С% - элемент разбиения то
gi, g2, ..., gm^G можно рассматривать как координаты на С%. Важное
замечание состоит в том, что плотность условного распределения
вероятностей на Сг в переменных g\, g2, ..., gm может быть записана в
виде:
Р (&Ф (Fl), ?*Ф (Л), ф (Fm) | ф (Fm+l)) =
Ро (gm I Ф {Fjn+l))j
т
-1
П
г-1
это означает, что относительные повороты gi*gT+и
i - 1, ..., т - 1, и gm образуют последовательность независимых случайных
величин (в этом условном распределении). В сказанном проще всего
убедиться,
заметив, что
Р М g2 Ф , ?тпФ (Fm) | Ф (J'm+l)} =
Р{Ф (^),Ф(^2), • • - Ф (^т) | Ф (^ш+1)}
- ехр {Gx (gig21) + (^2^3 Х) +
+ (g яg4 *) + * • • 4" &т-1 {gm-lgm1) + GQ (gm)}.
114
РЕШЕТЧАТЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 3
Будет показано, что на каждом элементе Ci разбиения % условное
распределение "координаты" g\ почти не зависит от (pCFm+i), откуда и
будет следовать (3.3). В силу сказанного выше это условное распределение
можно представить как распределение суммы независимых случайных величин
со значениями в S1. Требуемое утверждение будет следовать из некоторой
предельной теоремы о произведении независимых случайных величин,
принимающих значения на единичной окружности. В этой предельной теореме
