Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Другое доказательство формулы (22.2) основано на представлении поля скоростей интегралом’ П ассона
где R достаточно велико и | х | > R. Законность представления (22.6) легко проверяется на основе известных свойств интеграла Пуассона (см. [45], стр. 243). Воспользовавшись условием div v == 0, мы получаем из формулы (22.6) соотношение
Так Лак из этого соотношения следует, что <р — С = 0(г~1), потенциал ср также можно представить интегралом Пуассона. Заключительная часть доказательства очевидна.
Асимптотику плоского течения можно получить как из теории аналитических функций, так и независимо от нее, используя представление скорости в виде интеграла Пуассона. Эта асимптотика имеет вид
В отличие от предыдущего случая потенциал ф даже при больших г может представлять собой, вообще говоря, многозначную функцию.
Из второй формулы (22.8) следует, что v • dx для
любой замкнутой кривой, содержащей обтекаемые тела (при обходе кривой против часовой стрелки). Величина Г называется циркуляцией; в п. 25 определение циркуляции будет обобщено на случай вихревых течений.
у = 0 (/*“3).
(22.5)
r = R
(22.6)
v = О (г-2).
(22.7)
?-U'X + C + ^0 + 0(r>), v = U + 2^(—У- х)~\-0 (г-2).
(22.8)
23. Свойства безвихревого движения (продолжение) 65
23. Свойства безвихревого движения (продолжение).
В этом пункте мы рассмотрим наиболее важные результаты, относящиеся к изучаемому вопросу.
1. Максимум скорости достигается на границе области течения. Простое доказательство этого факта, предложенное Кирхгофом, можно найти в книге Ламба [8], § 37; ниже (см. п. 28) мы получим этот результат как следствие более общего утверждения.
2. Кинетическая энергия. Для течения в ограниченной односвязной области D легко показать, пользуясь формулой Грина, что
2Х = J p(gradcp)2fift/ = p(j) ср -j~da, (23.1)
и 8
где через § обозначена граница о. Формула (23.1) для кинетической энергии справедлива и для области *), внешней по отношению к §, если только жидкость на бесконечности покоится. В самом деле, если обозначить через ? сферу достаточно большого радиуса, содержащую внутри себя §, то кинетическая энергия Z* жидкости, заключенной в данный момент между 8 и Е, выразится формулой
2?* = р ф ср da 4- р (j) ср -|j- da.
9 2
Подинтегральная функции второго слагаемого имеет порядок не ниже г~3 (при отсутствии источников порядок равен г“5); при этом предполагается, что потенциал ср выбран так* что в формуле (22.2) С=0. Следовательно, интеграл по Е стремится к нулю при удалении Е -в бесконечность, и в пределе мы получаем формулу (23.1).
3. Единственность. Вернемся к задаче, рассматриваемой в предыдущем пункте. Мы утверждаем, что течение жидкости в односвязной области полностью определяется зада-
нием движения обтекаемых тел и величины U. В самом деле, пусть cpj и ср2 — потенциалы двух течений, удовлетворяющих указанным выше требованиям; тогда ср = cpj — ср2 является потенциалом течения, с нулевой скоростью на бесконечности и ду/дп = 0 на поверхности движущихся тел. Предполагая, что
область течения односвязна, мы получаем из формулы (23.1),
66 Гл. 3. Несжимаемые и баратропные идеальные жидкости
что ? = 0. Так как это означает, что gradcp —0 и ср = const, то два рассматриваемые течения совпадают.
Если область течения неодносвязна, то указанные выше условия, как показывают простые примеры, не обеспечивают единственности течения. Исследование возникающих при этом вопросов можно найти в § 47—55 монографии Ламба [8].
Заметим в заключение, что теорема единственности, установленная выше, показывает, что на границе области течения нельзя задавать, вообще говоря, кроме dyjdn, еще какие-нибудь дополнительные условия. В частности, условие прилипания на поверхности твердого тела при безвихревом движении жидкости, как правило, не выполняетсяг).
4. Парадокс Даламбера. Рассмотрим силу, которая действует на движущееся в жидкости твердое тело; предполагается, что скорость твердого тела постоянна и жидкость на бесконечности покоится. Ясно, что эту задачу можно сформулировать и как задачу о силе, действующей на неподвижное тело в равномерном потоке. Если обозначить через U скорость набегающего потока, то в соответствии с формулой (22.2)
v = u + 0(^‘3);
здесь, как и всюду дальше, символ О относится к асимптотике при г-> оо. Предположим, для простоты, что 2 = 0; Тогда из теоремы Бернулли (18.4) следует, что
Р = Ро Ч- Y Р — 92) = Ро + 0 (г_3)-
Применяя теперь формулу (10.2) для сферы Е достаточно
большого радиуса R и пользуясь соотношением t = — рп,
мы получаем
F = — J (рп + pvv • n) da =
?
= — J (/)0n + pUU • n)da-\-0 (#-1).
!) Более подробное исследование этого вопроса приведено в книге Трусделла [27], § 37. Следует отметить, что это замечание сохраняет свою силу и для безвихревых течений сжимаемой идеальной жидкости в тех случаях, когда удается доказать аналогичную теорему единственности.
23. Свойства безвихревого движения (продолжение) 67
Так как в силу теоремы Гаусса — Остроградского интеграл, входящий в это соотношение, равен нулю, очевидно, что F = 0.
