Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
причем интегрирование каждый раз проводится по всей области, занятой системой вихрей. (Трусделл [27], § 35), обобщил эту формулу на случай конечной области и отличной от нуля дивергенции. Он получил следующий результат:
v = — grad ср -f- rot тс.
76 Гл. 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
где через / и g обозначены потенциалы простого слоя, фигурирующие в формулах (26.4) и (26.5). Вторая формула Ламба будет рассмотрена в п. 71.
В заключение мы хотим привести две формулы, справедливые для произвольного непрерывного движения. Первая из этих формул принадлежит Ламбу ([8], стр. 273 1)):
X v)dv = (j) |^v (v • n) — q2n^da, (26.6) у g
а вторая — Трусделлу 2):
^ J todv= (j) [v (w • n) ¦— (a X n)] da. (26.7)
©
[Обе эти формулы легко проверить, воспользовавшись формулой (2.1) и тождествами (17.1) и (17.2).] В тех случаях, когда интегралы по поверхности равны нулю либо в силу условия v = 0 на 8, либо в силу соответствующей асимптотики на бесконечности, формулы (26.6) и (26.7) переходят в следующие простые соотношения:
f(Q>Xv)dv = 0, f ts)dv — 0.
и %
Первое из этих соотношений показывает, что среднее значение (о X v равно нулю, а второе — что суммарная завихренность системы вихрей постоянна во времени.
27. Мера завихренности. Трусделл 3) заметил, что величина мгновенной угловой скорости со далеко не всегда правильно определяет роль, которую играет вращение в движении жидкости. Недостатком этой характеристики является также зависимость величины ю от выбранной системы единиц измерения. Трусделл привел убедительные доводы в пользу
*) Формула была получена Ламбом для несжимаемой жидкости и в ней, естественно, отсутствовал член 0v.
2) Т г u е s d е 11 С., Phys. Rev. ((2) 73, 510 (1948). В другой работе [Canad. J. Math., З, 69 (1951)] Трусделл получил целую серию формул для завихренности, обобщающих формулу (26.7).
3) Т г u е s d е 11 С., У. Rational Mech. Anal., 2, 173 (1953).
27. Мера завихренности
77
того, что за меру завихренности следует взять безразмерный инвариант
28 = V DTD = /2D7iT * (27Л)
Для безвихревого движения, не совпадающего с движением жидкости как твердого тела, ш = О, D ф 0 и, следовательно, 2g=0. В случае, когда жидкость • вращается как твердое тело, D —0, w^=0 и;2В=оо. Таким образом, определение
(27.1) ставит в соответствие любому движению жидкости (за исключением поступательного движения жидкости как твердого тела) численную меру завихренности со шкалой от 0 до со, причем максимальную завихренность имеет вращение жидкости как твердого тела.
Проиллюстрируем понятие меры завихренности вычислением величины 28 для некоторых общеизвестных движений.
1. Обобщенное течение Пуазейля. Поле скоростей этого течения в некоторой прямоугольной системе координат имеет вид
ti = v = 0, w = w(x, у). (27.2)
Формулы (27.2) включают в себя как течение чистого сдвига w = ky, так и ламинарное течение вязкой жидкости в трубке с постоянным поперечным сечением. Легко проверить, что для таких течений 28=1.
2. Движение с постоянной завихренностью. Рассмотрим плоское течение несжимаемой жидкости с постоянной завихренностью о>. Функция тока этого течения удовлетворяет уравнению
У2ф = — со
и условию ф = const на неподвижных границах. Если жидкость находится в сосуде с неподвижными стенками, то легко видеть, что
ф = (Л)ф* (X, у).
Следовательно, 2В не зависит от завихренности движения и определяется только формой сосуда Для эллиптического сосуда с полуосями а и b мы получаем, в частности,
а2 + b2 I
78 Г л. 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
3. Волны Герстнера. Рассмотрим теперь интересный пример волновых движений, полученный Герстнером, и попытаемся оценить в этом случае относительную роль вращательного движения, пользуясь понятием меры завихренности. Заметим, что рассматриваемое движение имеет практический интерес только в том случае, когла величина 2В не слишком велика 1).
В примере Герстнера движение задается в переменных Лагранжа (3.1) следующими уравнениями:
л; = а + ~ ekb sin k (а -f- ct), y = b — ~ ekb cos k (a -f- ct);
(27.3)
здесь k и с — некоторые положительные постоянные. Хотя величины а и b действительно фиксируют начальное положение частицы, они не являются переменными Лагранжа в точном значении этого слова, так как при t == 0 частица не находится в точке с координатами а и Ь. Мы рассмотрим движение тех частиц, для которых ?<^?0<0. Легко видеть, что якобиан преобразования х = ср'(а, b, t) не меняет знака при b < О,
j'=4гЧг = і—е*ь > о,
д (а, Ь)
и, следовательно, движение, определяемое уравнениями (27.3), является допустимым. Свободная поверхность b = bQ (и вообще любая поверхность b = const) представляет собой трохоиду с длиной волны 2izjk, движущуюся со скоростью с в отрицательном направлении оси je.
Так как
/_ У) д(а> Ь) _ 1 д (а, Ь) д(Х, Y) ’
формулы (27.3) определяют движение несжимаемой жидкости. Интегрирование уравнений движения (6.10) в переменных Лагранжа при предположении 2 = ^ приводит к уравнению Бернулли следующего вида:
у = — gb + ^ c2e2kb -f - і (g — kc2) ekb cos k (a + ct) -f const P (27.4)
