Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Мы начнем с вывода преобразования Вебера и рассмотрим с этой целью очевидное тождество
Grad х • а = ^ (Grad х • v) — Grad ~ q2.
[Отметим аналогию с формулой Лагранжа (14.4).] Пользуясь этим соотношением, мы получаем из формулы (16.5) для ускорения, что
(Grad х • v) = — Grad (J _|_ а — І .
Проинтегрировав последнее уравнение от 0 до t и положив
W=/[/tL+2-T,!]'”’
о
мы получим уравнение
Grad х • v — v0 = — Grad W, (29.1)
где v0 — поле скоростей при t — 0. Уравнение (29.1), которое называется уравнением (или преобразованием) Вебера1), можно рассматривать как видоизмененную форму уравнений движения в переменных Лагранжа.
1) Weber Н., J. relne angew. Math., 68, 286 (1868).
29. Преобразования Вебера и Клебиіа
83
Используя преобразование Вебера, сравнительно легко получить преобразование Клебша *). Заметим сначала, что поле скоростей всегда можно (по крайней мере, локально) представить (см. [48], § 49) в виде
v = grad ср + / grad g. (29.2)
Но тогда (о = grad / X grad g> следовательно, поверхности / = const и g = const являются вихревыми поверхностями. Как было установлено, вихревые поверхности перемещаются вместе с жидкостью, поэтому естественно попытаться в представлении (29.2) подобрать / и g так, чтобы
•у=°- 4f=°- <29 3>
Докажем, что это действительно возможно.
Представим с этой целью начальное поле скоростей v0 в виде (29.2), т. е. положим
v0 = Grad еро -(- / Grad g.
Здесь функции ср0, fug зависят только от X. Подставив это выражение для v0 в уравнение (29.1) и умножив обе части уравнения на grad X, мы получим
v — grad сро = / grad g = — grad Т,
ИЛИ
v = grad ф + / grad g,
где ср = Ф0 — а функции / и g удовлетворяют уравнениям (29.3).
Клебш показал, что в случае, когда поле скоростей v представлено в виде (29.2) и выполнены условия (29.3), уравнение движения (16.5) допускает интегрирование. Действительно, исходя из тождества (15.8), легко показать, что
а=srad (ш - k V2) + ж srad Z+/ ^ad Tt =
= grad (g-1 gj = grad $? + ? + /%).
*) С 1 e b s c h A., J. reine angew. Math., 54, 293 (1857); 56, 1 (1859). Чтение этих работ довольно затруднительно; мы следовали здесь в основном изложению этих вопросов в книге Ламба [81, § 167.
84 Гл. 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
Сравнив полученные выражения с формулой (16.5), мы получаем, что
несущественная функция времени включена здесь в ср. Уравнение Клебша (29.4) можно рассматривать как одно из уравнений Бернулли, однако в отличие от рассмотренных выше форм этого уравнения соотношение (29.4) не зависит ни от предположения о потенциальности течения, ни от предположения о его стационарности. Заметим, наконец, что уравнения
(29.3) и (29.4) образуют систему трех уравнений относительно неизвестных ср, /, g и р; v определяется из уравнения (29.2), а давление является известной функцией р в силу баротропности течения. В качестве четвертого уравнения следует взять уравнение неразрывности 1).
Кажущаяся простота преобразования Клебша является частично обманчивой, так как даже в установившемся движении функции ср, / и g будут, вообще говоря, зависеть от времени.
Если функции / и g не удовлетворяют условиям (29.3), то вместо уравнения (29.4) мы получим уравнение вида
Щ grad / — ^ grad g = grad ф.
где
= -Ьг+/у + 2 + Ж+У’|- (29.5)
^g_d$ &L—___.
dt df 1 dt dg ’
(29.6)
эти уравнения по форме напоминают канонические уравнения Гамильтона. В случае преобразования Клебша мы имеем, в частности, § = 0 и df/dt == dg/dt = 0. Предположим теперь, что движение установившееся и что функции / и g
’) Клебш заметил, что эта система уравнений эквивалентна некоторой вариационной задаче. В более общем виде эта задача была сформулирована независимо друг от друга Херивелом и Лиием (см. п. 15).
29а. Обобщённые преобразования Вебера и Клебша
85
удовлетворяют не условиям (29.3), а условиям
df Qg п.
dt~ dt и’
тогда ф не зависит явно от t и, следовательно,
/пп 7\
dt ~ df dt~T~ dg dt ~~ 'n
Здесь уместно заметить, что так же доказывается общеизвестный принцип сохранения энергии в динамике Гамильтона. Уравнение (29.7) эквивалентно, очевидно, уравнению Бернулли (см. п. 17). В основе удивительной аналогии между каноническими уравнениями Гамильтона и уравнениями Клебша лежат, по-видимому, вариационные принципы, установленные в п. 15.
29а. Дополнение. Обобщенные преобразования Вебера и Клебша. Мы рассмотрим здесь обобщение результатов, полученных в п. 29, на случай движения произвольного газа. Термодинамическое обоснование рассуждений, которые проводятся в этом пункте, будет дано в следующей главе (п. 30, 35).
При обобщении преобразования Вебера мы следуем той же схеме, что и в п. 29, причем роль формулы (16.5) будет играть теперь соотношение
а =ТgradS — grad (/-(-2), ^- = 0, (29.8)
где через / обозначена удельная энтальпия, / = —(— р/р
(эта формула является следствием тождества p-1grad/? = = Тgrad 5 — grad /). В результате несложных преобразований вместо уравнения (29.1) мы получим уравнение
Grad х • v — v0 = р Grad 5 — Grad W, (29.9)
где
§ = T. f = /+S—(29.10)
