Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
l) Приведенный здесь материал взят из цитированной выше
работы Трусделла.
27. Мера завихренности
79
Из уравнения (27.4) видно, что для выполнения условия р = const на свободной поверхности нужно потребовать, чтобы
с2 = g/k. (27.5)
Это условие приводит к более простому виду уравнения Бернулли, а именно к уравнению
— = — gb + 4 с2еш + const.
Р Z
Заметим в заключение, что произведенное интегрирование уравнений движения (6.10) служит одновременно доказательством возможности волновых движений Герстнера в поле сил тяжести.
Для вычисления величины 2В нужно определить компоненты grad V. Мы имеем
и = = cekb cos 8,
at
где b = k(a~{-ct)\ следовательно,
= (A = kcek»J'-').
дх д (а, Ь) д (х, у) 4 у
Аналогичным образом находим производные
= — A (cos 8 + ekb), — — ^(cos8—?^), Jy- == Л sin 8.
Подставив эти выражения в соотношение (27.1), мы получим замечательную по своей простоте формулу для меры завихренности Ж на „глубине" Ъ:
дЗЗ_в»= 2те Амплитуда Длина волны
Легко видеть отсюда, что величина 2В достигает максимума на свободной поверхности и экспоненциально убывает при увеличении глубины. Если мы хотим, чтобы величина 2В не превосходила, например 10%, то нужно потребовать, чтобы на свободной поверхности выполнялось условие
Амплитуда <1,5% длины волны.
Таким образом, волны Герстнера представляют собой сильно завихренное движение, за исключением случая волн малой
80 Г л. 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
амплитуды; на самом деле амплитуда должна быть настолько малой, что становится применимой линеаризированная теория поверхностных волн.
28. Поле ускорений и уравнение Бернулли. Результаты, излагаемые в данном пункте, основаны на различных кинематических представлениях для div а. Вывод этих общих формул и их применение принадлежат Трусделлу1), хотя различные частные случаи были известны и раньше.
Применив оператор дивергенции к формуле (3.5), определяющей ускорение, и положив 0 = div V, мы получим
div а = -^г -f- div (v • grad v) = + vljvi—
= ^ + D:D-|u>2, (28.1)
или
diva = -^- + (l — 2B2)D : D. (28.2)
Третье представление для div а, используемое ниже, является следствием тождества (17.1):
div а = -Ц--|-div (о> X v)+ V2-^ q2. (28.3)
Известно, что любое векторное поле можно разложить на сумму потенциального и соленоидального полей (см. [48], стр. 186); в частности, поле ускорений допускает представление в виде
а = — grad ср*-|- rot те*. (28.4)
Очевидно, что в случае баротропного течения
cp*=J-^+S, п* — 0. (28.5)
С другой стороны, для несжимаемой вязкой жидкости, удовлетворяющей уравнениям Навье—Стокса (68.2),
<{>* = ?+ 2, 5!* = — ш. (28.6)
Подставив представление (28.4) в уравнения (28.2) и (28.3), мы получим, что для любого непрерывного движения потен-
^Truesdell С., J* Rational Mech. Analv 2, 173 (1953).
28. Поле ускорений и уравнение Бернулли
81
циал ускорений ср* удовлетворяет следующим уравнениям Пуассона:
vy = — + (ЭВ2 — 1) D : D (28.7)
И
у2 (?* + ? <?2) ‘Ж + div Х (28-8)
Так как второе уравнение выражает величину <р*+У2<72 через другие параметры течения, его можно рассматривать как уравнение Бернулли. Уравнения (28.7) и (28.8) впервые получены Трусделлом, хотя в частных случаях они были приведены ранее Д. К. Бобылевымг) и Роуландом2).
При применении полученных результатов к динамике жидкости мы ограничимся случаем р = const. Рассмотрим сначала безвихревое движение. В этом случае из уравнений
(28.2) и (28.3) получаем, что
V2l^ = D;D>0;
следовательно максимум модуля скорости достигается на границе; этот факт уже упоминался выше (п. 23). Рассмотрим теперь движение жидкости, удовлетворяющее уравнению (28.5) или уравнению (28.6). В любом из этих случаев (поскольку 0—0) мы можем записать уравнение (28.7) в виде так называемого уравнения давления:
V2(^- + 2) = (2B2— 1)D:D. (28.9)
Таким образом, в случае течений несжимаемой жидкости, как идеальной, так и вязкой, в консервативном поле внешних сил
1) в области, где 1, максимум величины /?-f-p2 достигается на границе;
2) в области, где 28<!1, минимум величины /?-{-р2 достигается на границе.
!) Бобылев Д. К., Math. Ann., 6, 72 (1873).
2) Rowland Н., Artier. J. Math., З, 226 (1880). Аналогичные уравнения рассматривались также в работах Лихтенштейна [9, стр. 409], Гамеля [Hamel G., Mh. Math. Phys43, 345 (1936)] и Ла-галли [La gall у, Z. angew. Math. Mech,t 17, 80 (1Э37)].
82 Гл. 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
Если V2& = 0, что выполняется, например, для случая поля сил тяжести и для случая отсутствия внешних сил, то оба эти утверждения справедливы также относительно самой величины давления р.
В частности, утверждение 2 справедливо для безвихревого движения.
29. Преобразования Вебера и Клебша. В заключение этой главы мы опишем два известных преобразования уравнений движения в случае баротропного течения идеальной жидкости. Эти преобразования применяются сравнительно редко, но представляется интересным записать их в более удобном виде, чем тот, в котором они обычно употребляются, и сделать их, таким образом, более доступными для читателя.
