Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
J<l2 + f -y-+Q — const.
В противном случае, если ю X v ф 0, в области течения существует семейство поверхностей
Я =i-92-f J-^- + 2 = const,
причем на каждой иэ этих поверхностей в качестве координатной сетки можно выбрать вихревые линии и линии тока. В частности, Н = const на линиях тока.
^Даниил Бернулли (Bernoulli D., Hydrodynamica, 1738) получил общую теорему типа сформулированной выше. Не надо думать, однако, что ему были известны все результаты, которые сейчас носят название уравнений Бернуллл. См., например, предисловие редактора к Собранию сочинений Эйлера (Opera Omnia (2) 12).
18. Теоремы Бернулли
55
Поверхности И = const можно было бы называть поверхностями Ламба по имени их первого исследователя 1).
Почти такой же результат можно получить при более слабом предположении независимости от времени поля вектора завихренности, не предполагая заранее, что течение установившееся 2).
В самом деле, если w X v = О, то, применив оператор rot к соот-
ношению v = ka), мы получим
со2
V = -----7---- W,
to • rot (о
из чего следует, что поле скоростей также является установившимся. Этот основной случай уже был рассмотрен выше. Если to X v Ф О, то поле скоростей не обязательно будет установившимся, но в этом случае
дм до) _
rot —- = -3— = О dt dt
и, следовательно, dv/dt = grad х, где і — некоторая потенциальная функция. Таким образом, при w X v ф 0 в области течения существует семейство поверхностей
1 „2 I С dP
2 q ' J P
на каждой из которых в качестве координатной сетки можно выбрать вихревые линии и линии тока.
Как известно, безвихревое течение характеризуется тем, что существует (быть может, многозначный) потенциал поля скоростей ср = ср (х, t), такой, что
v = grad ср. (18.2)
(Некоторые авторы по аналогии с потенциалом сил определяют потенциал скоростей соотношением v = — grad ср. Однако это менее удобно, и в современной литературе последнее определение, как правило, не употребляется.) Соотношение (18.2) позволяет проинтегрировать уравнение (18.1), и мы получаем, таким образом, теорему Бернулли для безвихревого течения’.
4г+т?2+/-? + й==^- <18'3)
[) Lamb Н., Proc. Lond. Math. Soc., 9, 91 (1878); см. также [81, § 165.
2) Это обобщение принадлежит, по-видимому, Мазотги [М а-
sotti, Rend. Lincei, (6) 6, 224 (1927)].
56 Гл. 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
В случае установившегося движения уравнение (18.3) принимает более простой вид:
Большое значение уравнений (18.3) и (18.4) определяется тем, что эти уравнения представляют собой полные интегралы уравнений движения.
19. Функция тока. В каждом случае, когда уравнение неразрывности допускает представление в виде суммы двух производных, это уравнение может быть проинтегрировано введением функции тока. В этом пункте мы рассмотрим только плоское течение и осесимметричное течение, хотя эти течения не исчерпывают все случаи, в которых возможно построение функции тока. Мы будем предполагать также, что жидкость несжимаема; более сложный случай сжимаемой жидкости будет рассмотрен ниже (см. п. 42).
Плоское течение. В этом случае и — и(х, у), v — v (х, у), = 0, и поэтому уравнение неразрывности имеет вид
В силу этого уравнения криволинейный интеграл I udy — vdx,
взятый от фиксированной точки (лг0, у0) до переменной точки (х, у), определяет (быть может, многозначную) функцию ф = ф(х, у, t):
Легко видеть, что по известной функции ф поле скоростей восстанавливается однозначно. Ясно также, что линии ф = const являются линиями тока; последнее обстоятельство послужило причиной названия функции ф функцией тока.
Представляет интерес уравнение, которому удовлетворяет функция ф, а именно уравнение
которое является следствием уравнений (17.8) и (19.1) и используется для определения ф по известной величине завихренности. Заметим теперь, что для плоского устано-
_1_
2
(18.4)
(19.2)
19. Функция тока
57
вившегося течения в силу уравнения (18.1)
я=я«0, « =
Следовательно, любое решение уравнения Д2ф = /(ф) может служить примером установившегося плоского течения; конечно, в конкретной задаче нужно также принимать во внимание граничные условия, которым должна удовлетворять функция ф. В случае безвихревого течения существует потенциал <р и
ду____д<1> __ ду __ д'\>
U дх ду ’ V ду дх
Комплексная функция w=w(z, /) = <р-)-/]>, z = x~\~iy
является, следовательно, аналитической; этот факт часто
позволяет найти точное решение задачи о плоском безвихревом движении несжимаемой жидкости. Читатель может обратиться по этому вопросу к книгам Ламба [8] и Милн-Томсона [10], а также к статьям Беркера, Вехаузена и Джилбарга в данной Энциклопедии.
Осесимметричное течение. Так как рассуждения в этом случае вполне аналогичны изложенным выше, мы ограничимся формулировкой результатов. Для осесимметричного течения уравнение неразрывности имеет вид
-^(yu) + -Hj(yv) = 0
[см. формулу (12.11)]; следовательно, мы можем определить функцию тока ф = ф(л;, у, t) так, чтобы
И = —-|i., v= — L^L. (19.3)
у ду у дх 47
Уравнение для нахождения Ф по известной величине завихренности получается в результате исключения и и г/ из уравнений (17.9) и (19.3) и имеет вид
