Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
(c) + h = 0, / = О
к виду :
( = fonct (х, y,h,a), tj = fonct (х, у, h, а).
Дифференцируя по времени, получим:
ds=§dx+wdy> dr>-^dx + ^dy-
Подставляя сюда вместо dx, dy, d?, dtj их значения из дифференциальных
уравнений проблемы, найдем :
rf(c) rf(c) rf(c) dl n_ d& de dg d& dg
dx dg dx dg dy ' dy ' dg dx dg dy
Эти уравнения превратятся в тождества, если вместо ? и щ подставить их
выражения через х, у, h и а. Произведя ту же подстановку в интеграле
живых сил
(c) + /2 = 0,
получим также тождество. Производя эту подстановку лишь формально, мы
можем дифференцировать наш интеграл по каждой из величин х, у, h, а. Это
даст нам четыре следующие формулы:
" _ d@ d@ dg d& dr} " _ d& d& dg d& dr]
dx ' dg dx ' dr] dx ' dy ' dg dy dr] dy '
Q = d& dS I d& dT]
u - 1 + dg dh + dr], dh dg da 'dtj da '
Две первые из них в сравнении с двумя предшествующими дадут тождественно
dg drj_
dy dx
Это показывает нам, что'выражение |dx + "jdy интегрируемо. Полагая
R = J (I dx + г) dy),
можем переписать две оставшиеся формулы в виде
О ,d@ d*R d& d*R Q _ d&^ d2R rf(c) d*R
"I" dg dx dh drj dy dh, ' dg dx da ' dr] dx da '
Если мы теперь умножим их на dt и заменим в силу дифференциальных
уравнений величины
d& At " d& At
-rr-dt и ^r-dt
dg drj
•ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ
на -dx и -dy, то получим
-_ dx -| - _ _
dx dh dy dh ~ dx da "л 1 dy da
At - d*R av i d*R a" n d*R a , <*2Я j
rfx rf/l + rfv dh У ' ^ dx da ^X + Am An У >
где
At - A ,, _ "_
dh ' da
dt = d-~, 0 = d dR
интегрируя, получим
. , dR dR
* + e = ~nr " " =
1 dh da
где e и a - произвольные постоянные.
Из предшествующего ясно, что случай V = fonct (х, у, х', у), так же как
случай V - fonct (х, х', х"), требует единственного интеграла
/ = 0,
потому что три другие находятся из нашей общей теории.
Если мы предположим
V = ^±^ + U,
где буква U обозначает функцию, зависящую только от переменных х и у, то
получим случай движения материальной точки по плоской кривой.
Предположим, что движение относится к прямоугольным координатам и что
проекции ускорений на координатные оси суть
dU dU dx И dy
Такое движение рассматривалось Пуассоном*). Блестящий геометр цитирует
письмбо Якои, посвященное этому предмету, но я не знаком с этим
письмом**).
12. Возвратимся к формуле (7); заменив в ней d<o\k) на 6х^к) ~xy+1))8t,
получим
( 1=т к=п-1 \
d(vdt) = dledt+ 2 2 • (68>
V 1=1 к=О }
Так как эта формула справедлива при любом смысле дифференцирования,
обозначенного символом Ь, мы можем получить для другой системы
произвольных вариаций, обозначенных символом А, выражение
(l-m к=п-1 >
@At + 2 2 SllkAx^ .
i=l л=о I
Дифференцируя это равенство в смысле б, а уравнение (68) в смысле А,
получим
6A(Vdt) = d
Ad{V dt) = d
i = '77 к=П~ 1
d&At + OdAt + 2 2 0*^. * A f/. к dA*V)
1=1 k=О
i = m k=n-1
A0dt + 0Adt + 2 2 (A^kSx(P + ?,,kAdx<P)
1=1 fc=о
*) Journal Math6matique par M. Liouville, т. II, стр. 334 и сл.
**) Мы опускаем другие приложения общей теории, изложенной в п. 9, потому
что во время печатания работы мы заметили, что можно сразу обобщить и
упростить эти приложения. Мы заметили также, что можно упростить многие
положения общей теории и сделать некоторые дополнения. Этому вопросу
будет посвящен наш следующий Мемуар.
368
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
Если мы ограничим общность вариаций 6 и А, подчинив их условию,
выраженному символическим равенством
Ы1 = Ад,
то мы получим, сравнивая правые части двух последних уравнений и приводя
подобные члены
i=m к=п-\
Ав dt -d(c)At+ 2' 2 - d?iJ( А*Р)
f=l fc=о
= 0;
(69)
интегрируя, придем к выражению
i=m к-п~\
Ав dt - д(c) At + 2 2 №к 8х(Р ~ 3*'-К АхУ) = const • (7°)
1=1 fc=о
Здесь const обозначает величину, не зависящую от времени.
Каким бы простым ни казался метод, приведший нас к уравнению (70), он
отказывается нам служить, если мы не ограничим подходящим образом
дифференциалы д и А. Действительно, нетрудно показать, что кроме условия
ЬА - АЬ,
которое мы наложили, наши дифференциалы должны удовлетворять и другому.
Мы сейчас поясним это.
Мы исходили из формулы (68), заменив в ней 6 на А. Это можно сделать
потому, что исходная формула, полученная из основных принципов
вариационного исчисления, верна при произвольном д. Но нельзя упускать из
вида, что как формула (68), так и формула, полученная из нее заменой д на
А, предполагает неизвестные х и ? связанными уравнениями (9) или (14).
Эти последние уравнения не имели бы никакого отношения к вариациям д и А,
если бы мы не дифференцировали их одно в смысле А, а другое в смысле 6. А
это дифференцирование приводит к замене в них хи?нах + /1хи ? -\-+ А? в
одном случае и на х + дх и ? + d?- в другом. Следовательно, величины х +
Ах, х dx и ? + Ai, ? + d? становятся на место х и ? лишь постольку,
поскольку они удовлетворяют уравнениям (9) или (14). Без этого условия
как формула (68), так и формула, полученная из нее заменой 3 на А, не
будут справедливы. Но если переменные х + Ах, х + дх, ? + Л?, ? + d?
