Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяют уравнениям (14), они должны находиться среди х и ?, которые
удовлетворяют этим уравнениям и которые отличаются друг от друга лишь на
произвольные постоянные величины, введенные интегрированием. Из этого
можно заключить, что вариации 6 и А могут быть лишь дифференциалами,
относящимися к этим постоянным, неизвестными функциями которых являются х
и ?. Что же касается приращений или дифференциалов 6 и А упомянутых
постоянных, то они не должны зависеть от времени, а в остальном могут
быть абсолютно произвольными.
Важно отметить, что когда, дифференцируя в смысле 6 и А, варьируют время
t (dt и At соответственно), нужно варьировать его и в дх, Ах, &?, А?.
Члены, пропорциональные приращениям dt и At и фигурирующие в только что
упомянутых вариациях, нисколько не мешают переменным х дх, х + Ах, ? +
6?, ? + А? удовлетворять уравнениям (14) или (9). Так, обозначая через av
а2,..., а2тп 2тп произвольных постоянных, введенных при интегрировании
этих уравнений, мы можем записать все наиболее общее, что мы можем
допустить относительно Sx, Ах, d?, А? для всех индексов i и к
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 369
в виде :
бх(r) = Axf =
dx(P
dt
dx(r)
'"2mn Av<k)
"+2 -^-4.
r=2mn
dt
r=l
r=2mn
dar
Aar,
dar
dar,
A?i,k =
л
r=l
da.
^ar.
(71)
Ничто не мешает нам не варьировать время в вариациях бх, Ах, б!, Ai,
поэтому мы можем положить dt = О в формуле (68) и, следовательно, At = О
в той, которая из нее получается при замене б на А.
Это условие приведет нас вместо (70) к формуле
2' 2' (Aiik дх(к) - <5|,_ к Ах(к)) = const, которую мы обозначаем тоже
номером (70) и в которой
г=2тп
(70)
бх(r) = 2
dx(r)
dar
даг
r=2mn dx(r)
Мл) = ^ ~г~Ааг,
r= i ddf
r=2mn
r=l
dar
r=2mn
Ai
di
i. к
i,k
dar
Aar
(72)
для всех г и к. Дифференциалы Ьаг и Jar суть бесконечно малые вариации,
не зависящие от времени, потому что, если бы они от него зависели, то
постоянные интегрирования а + 8а, а -р Аа включали бы время, чего не
может быть.
Мы обозначили одним и тем же номером (70) две формулы, потому что они
только внешне отличаются друг от друга. Действительно, легко проверить,
что первые два слагаемых в первом уравнении (70) равны нулю и формула
приводится ко второму уравнению (70).
Вариациям бх(r), Ах\к), 8iitk, Aiitk мы можем придавать лишь значения (71)
или, проще, значения (72). Мы должны наложить это ограничение, чтобы не
впасть в ошибку, которую делают геометры, занимающиеся принципом
наименьшего действия.
Они дифференцируют уравнение живых сил посредством б, не обращая внимания
на то, что это уравнение удовлетворяется только значениями х, но никак не
значениями х + бх.
Что касается выбора между уравнениями (71) и (72), то первым пользуются в
первом уравнении (70), где бх и zlx отличны от нуля, а вторым - во
24 Вариационные принципы механики
370
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
втором уравнении (70). Но как мы уже говорили, обе формулы приводят к
одному результату, так что мы для простоты будем пользоваться вторым
уравнением (70) и значением (72) для вариаций дх^к\ Ах(к\ д?1Л, А?ик.
Может быть, не совсем ясно, что обе формулы (70) дают одно и то же. Для
того чтобы убедиться в этом, припишем упомянутым выше вариациям значения
(72).
Это приведет к предположению, что символы 6 и А относятся лишь к
произвольным постоянным, оставляя время неизменным.
В этом предположении значения вариаций, определенных равенствами (71),
будут иметь вид
и очевидно, что, обозначая через Q произвольную функцию t, х, f, мы полу'
чим
Символы 6 и А слева от знака равенства предполагают переменными время и
произвольные постоянные; справа - только произвольные постоянные ; Q' -
полная производная от Q по времени.
Условившись, что с настоящего момента символы А и 8 относятся лишь к
произвольным постоянным, перепишем уравнение (70) в виде
dt+dxf;
dQ = Q' dt + dQ, AQ = Q'At + AQ.
const = (& At + A(c)) dt - ((c)' dt + d(c))At +
или, делая очевидные преобразования,
const = Д' Jjf (ASt'kdxf-jp - d?tJe Ахф) +
/=1 k=о
Отсюда, заменяя производные по времени и _ dx^ на частные
л dt
производные -ш и --, убедимся, что члены, умноженные на dt и At,
dx i "St, к
исчезнут, и мы получим уравнение
const = 212' №i'kdx(p - d?, kAxVp),
(70)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 371
которое является второй формулой (70) и в котором символы б и А относятся
лишь к произвольным постоянным а.
Мы можем получить уравнение (70) и с помощью прямого вычисления. Этот
способ предпочтительнее предыдущего для установления ограничений,
налагаемых на дифференциалы б и А. Возвратимся к уравнению (4) и
перепишем его в виде
6 (V dt) = 2 3, (dt dxi - dt dxt) + dt
i=1
i=m k=n- 1 I
&Ы+ 2 2 I- (73)
i=l k=0
Эта формула свободна от всяких ограничений как относительно х и S, так и
их вариаций 8. Само собой разумеется, что остается зависимость
производных и их вариаций от первообразных функций и их вариаций.
Так как уравнение (73) является тождеством, то ничто не мешает
