Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
дифференцировать его в смысле А, отличном от дифференцирования 8.
Производя это дифференцирование, получим
АЬ (V dt) = 2.' Isiл (dt 8х> ~ 61 dxd + (dt dxi ~ dt dxi) ASi] + + d
! = 1
i=m k=n-1 7
АвЫ + вАЫ + 2 2' Vhkd*f> + ei.kA**IP) •
i=l k=0
Если мы теперь учтем уравнения (9) или (14), которые сводятся к
предположению
-i = 0,
то получим истинное значение двойной вариации
(9)
A8(Vdt) = J?(dt Ьх( - dt dxt) ASt +
(=i
+ d
i=m k=n- 1 7
A& dt + eAdt+ V 2 (Ahk + ?,¦ к A <ВД
при обязательном соблюдении уравнений (9) или (14) в произвольных
вариациях А и 8. Если мы в предыдущем уравнении поменяем местами А и б,
что, очевидно, допустимо, то получим
ЬА (V dt) = 2 (8t А xi ~ At dxi) 8Si +
i=i
+ d
!=m k=n-1 7
deAt + edAt + 2 2 * Axf + h к Ш?) .
i=l k=0
Вычитая последнее из предыдущего, найдем
!t=m к=п-\ г
A0dt-d(c)At + (c)(Adt-dAt) +2 2 №д(Ис)-
,=1 к=о L
- б|,- к Ах<Р) + к (А 8xV - 8 Axf)
+
i^m г
2\(Axldt-dxiAt)dS,+
i= 1
+ (dXj At - Axt dt) dSi + (dxt dt - dx, dt) AS/
= Ad(Vdt) - dA(Vdt)~
04*
372
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
Мы ввели дифференциал dSh который равен нулю в силу уравнения (9). Для
этого достаточно заметить, что выражение, стоящее под знаком 27, есть !
определитель из девяти величин
dt, dt, At, dx,, дх,, Ax,, dS,, 33,, АЗ,;
мы говорим только о простом, а не о двойном знаке 27.
Легко проверить, что при законном предположении
: АЫ = dAt
приращения 5t и At исчезнут из последнего уравнения и оно приведется к
выражению
Ad(Vdf)-dA(Vdf) = d22[A?,ikd*P-d?,ikA*P +
+ Si,к (А дх°Р - й Лх<1})\ +dt У (дх, АЗ, - Ах, дЗ,).
Знаки 5 и А в действительности предполагают время неизменным и относятся
лишь к изменению формы х и I.
' Полагая
дЕ, = 0, АЗ, 0 , (74)
получим
Ad(Vdf) - ЗА (Vdt) = d?2 [Miikd^ - (3|,д/1х(r) + ?,ik(A дх"р - dAx!f)}.
Так как уравнения (74) устанавливают соотношения между вариациями функций
х, мы получим
i'=m к=2п jc,
дЕ*-2 2 3'А*>>-
i'= 1 к=0 л* i'=m к=2п И&.
^<-2 2
,'=\ о <
' Заменяя ЪВ,, АЗ, их нулевыми значениями, мы получим дифференциальные
уравнения, связывающие дх и Ах. Так как эти уравнения отвечают
всевозможным номерам г, то число их равно числу величин дх и Ах. Они
интегрируются с большой легкостью, если известно решение уравнений (9)
или (14).
Действительно, это решение определяет переменные х как функции времени й
2тп произвольных постоянных аг, а2,..., а2тп, и если заменить х э'т'ими
функциями, получим тождественно
3, = О
для всех i и, следовательно, также
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 373
для всех значений г. Сравнивая эти последние уравнения с уравнениями
i'=m к=2п лг,
°=^ 2:-шд*Р'
i'=1 к=О илг' i'=m к=2п ля.
°-2
f' = 1 к = 0 !'
которые являются уравнениями (74), немедленно получим, что они
удовлетворяются при
(1х^к)
ёх(к) = Iх Я а х^) = - -
х>' dar ' 1 dar
или
dxT^
dxf = * ' - , =
' da,- ' ' dar
dA'') dx(r)
для всех г. Следовательно, 2тл частных производных , ...
dX((o 1 г
..., -будут также частными значениями дх\к) и Ах(к\ которые удовлет-
ййътп
воряют уравнениям (71). Таким образом, эти уравнения, будучи линейными,
имеют полными интегралами выражения
г~1Щп dx(k) r=2mn d (ft)
Ях(к) _ 'У Г 1 ¦ Ах(к) = У С'
1 121 r daf ' Х' ft\ r dar '
где С и С' - произвольные постоянные. Но вариации дх\к) и zbc{k) суть
бесконечно малые. Из этого следует, что величины даг и Ааг должны быть
такими же, т. е. обозначая через даг и Лаг бесконечно малые, не зависящие
от времени, но в остальном совершенно произвольные величины, мы можем
положить
Сг = даг, С; = А аг,
что дает :
r=2mn rfvW г=2тп . гк)
"?' = 2 2 % М.
Следовательно, имеем также :
г=*2тп г=2тп.и
Таким образом, мы пришли к формулам (72) и можем быть уверены, что
без малейшего уменьшения общности символов д и А можно считать их
дифференциалами, относящимися лишь к произвольным постоянным, неявно
содержащимся вхи^. Таким образом, поскольку д и А суть обычные
дифференциалы, условие ЬЛ = Ад необходимо выполняется и уравнение
Ад (Vdt) - ЗА (Vdt) =
i=m к=^п- 1
= d 2 2 [^i,k^-diitkAXf + iUt{^~bAx^)\
i=l о
374
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
приводится к уравнению
i=m к=п-1
0 = ?f^ 2
1 = 1 fc=0
которое после интегрирования дает
i=m к=п-1
^ 2 = const, (70)
1=1 к=О
где const обозначает величину, не зависящую от времени.
13. Подставим в уравнение (70) вместо дифференциалов дх}Л), Лг^, df/A,
соответственно следующие выражения :
г=^п dx<P . s^n с/х(r) ,
r=2mn Jt, , r=2mn jt. ,
2 Hbr**; 2 -itAa-
Г- 1 5=1
мы получим тогда
' , r*S" -sr, . ГЛ" a,, *?>","
a*"i= -2 2 2 2 bit^-nt-sr
Так как вариации &ar и Aas связаны лишь предположением их
дифференциальной малости и независимости от времени, предыдущее уравнение
распадается на
i=m к=п-1
2 2
1=1 к=0
с/х(r) d$iik с/х(r) d?it
dar das dar das
(75)
для всех значений г и s. Буква С означает переменную, не зависящую от
времени.
Уравнение (75) является фундаментальным в теории вариации произвольных
постоянных. Мы.для краткости будем обозначать его
(г, s) = const. (76)
