Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь функцию S во всей общности, предполагая, что она
удовлетворяет лишь уравнениям (44) или (45) как полное решение.
В силу принципа живых сил уравнение (44) дает
dS .
т. е. после интегрирования
S=-ht + R.
Буква R обозначает здесь функцию переменных х, которая содержит тп + 1
произвольных постоянных и не содержит t. В число постоянных входит Л -
постоянная живых сил и аддитивная постоянная, так же как и в S. Обозначим
буквами а1г а2,..., атп-г остальные произвольные постоянные. Интегралы
(48) уравнений (14) можно написать в виде :
t_dR
dx(k> >
dR
- - = ar, dar r '
dR . .
~dh-t + S' .
где e обозначает произвольную постоянную.
(50)
354
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
Заменяя в уравнениях (44) или (45) функцию S значением R - ht, найдем
соотношение между переменными х и частными производными функции R,
которое не содержит самой этой функции и для которого R, заключенное в
формуле (50), является полным интегралом. Это соотношение есть
<9 + Л = 0, (51)
что мы получим, заменив в формуле (44) значение S его выражением R - ht.
Величина & действительно содержит те же самые производные R и таким же
образом, как S в формуле (44).
Заметьте еще, что, заменяя в уравнении живых сил О на V-Г, вы получите
У=Г-Л.
Умножив на dt и проинтегрировав, найдете
J Vdt = ^Tdt - ht
или
S = $Tdt - ht.
Из этого вы заключите, что
R=\Tdt, (52)
или
ri-m к=п- 1
я = 12' 2 (53)
J i=1 h=0
или еще
t - m к=п- 1 r'i = m к-п-1
R = 2 2 kkXf-\2 2
/ = 1 fc=0 J / = 1 k=0
и если вы замените S на R - ht в формуле (32), вы получите
i=m к=п-1
dR = const + (У + h) dt + 18h + 2 2 fa 8co(r)
(=1 fc=0
или, так как из уравнения живых сил следует
i = m к=п-1
V + h = T = 2 2 ккх(к^>
i = 1 fc=О
то получите
l=m к=п- 1
5R = const + t dh + 2 2 ?i,kdx(i '- (54)
1=1 fc=0
Рассмотрим уравнение, которое дает в как функцию х и ? и которое, как мы
уже говорили, получается путем исключения л-х производных х^п), 4П),...,
из формул
dV _ dV _ ?. dV __ у
dx(n) -Sl,n-1, л(п)-Чп-1. ¦¦¦" ax(n) Sm,n-1-
Если мы в это уравнение подставим вместо & ее значение -Л, полученное из
закона живых сил, то получим интеграл уравнений (14), играющий роль
интеграла живых сил. Пусть
/i = 0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 355
представляет этот интеграл. Предположим еще, что мы нашли каким-то путем
тп-1 остальных интегралов
/2 = 0, /з = °. • • •" fmn = О
тех же дифференциальных уравнений, которые, кроме произвольной постоянной
h, содержат еще тп - 1 других. Эти постоянные мы обозначим через ах,
а2,..., атп_х.
Первый интеграл содержит одну постоянную h.
Запишем для простоты наши тп интегралов в виде
fr = 0, (55)
где индекс г пробегает значения 1, 2,..., тп.
С помощью интегралов (55) мы можем представить тп из 2тп переменных х, |
как функции тп остальных и тп произвольных постоянных. Первые тп
переменных мы можем выбрать произвольно. Для того чтобы различать эти
переменные, мы будем называть первые переменными (Л), а вторые
переменными (а).
Таким образом, (Л) будут функциями (а) и произвольных постоянных.
Подставляя значение переменных (Л) в интеграл живых сил, мы получим
тождество, потому что интеграл
/х = 0,
который заменяет его, служил нам для определения переменных, т. е. мы
получим тождественно
0 + Л = О.
Продифференцируем это уравнение по всем неизвестным величинам, т. е. по
переменным (а) и произвольным постоянным. Тогда получим тождественно
1 = /л к-п-1 j/д j/a
V "V 1 -I- -- д ?•,
? 2L dx(f) 1 ^ dS-ь ик
Умножив на dt и заменив
+ dh = 0.
d& ,, d& ,.
dt и --г- dt
d?itk
их значениями из уравнения (14), мы получим нетождественное соотношение :
i~m l=n- 1
dhdt = 2 2 (dxd?d$iik-d^kdx<-f). (56)
/=1 к=0
Это уравнение содержит 2тп совершенно произвольных вариаций, а Именно тп
вариаций величин (а) и тп вариаций произвольных постоянных. Оно даст 2тп
частных уравнений, которые зависят от переменных (а) и (Л).
Предположим для определенности, что величинами (а) являются х, a
величинами (Л) являются |. Сравнивая коэффициенты при вариациях дк и да в
обоих членах уравнения (56), получим
356
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
и, каково бы ни было значение индекса г,
i=m к=п-1 Jt.,
0=^" 2 ЧаГйх(Р- (58>
i=1 к=о
После этого от уравнения (56) останется еще
1=тп к=п- 1 /=1 fc=0
Дифференциалы &S относятся в действительности только к величинам х,
функциями которых, по предположению, являются переменные ?. Последнее
уравнение можно, очевидно, переписать следующим образом:
i=m к=п-\ i'=m fc'=n-1
2 2 dhkM?= 2 2
j = l h=0 - ' Г= 1 fc'=0
HO
t-m fc-n-1 d(i,k.
к,-.*-? 2i$w3xV>
следовательно, наше уравнение примет вид
i=m k=n-i i'=m k'=n- 1
0-2" 2 ""- 2 W
1 = 1 -4 = 0 i'=l /?" = 0 '
что, ввиду произвольности dx^k), дает
/'=m k=n- 1 ,,
""=.2 <59>
i= l lc=o i
или, вследствие того, что
i'=m к'=п- 1 jt,,
""=.2 2
('=1 fc'=0 "лк
получим
"=;|(б0) Заменяя dx^fc) на
- -dt,
dit,k '
получим тождественно
Й Л &*¦[<*?> К }
Можно было бы получить эти различные результаты, дифференцируя тождество
