Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
интегралы = а, где буква а обозначает новую произвольную постоянную.
Для доказательства этого положения дифференцируем предполагаемый интеграл
-^ = а по f, варьируя все функции х, зависящие от t. Мы получим
d*s _ _d*s_ dxm =
dt da dadxdft dt
(/х^) d(r)
Заменяя его значением - ~df~^ из УРавнения (47), мы получим
d2s k=^' d& d2s
к = О
dtda di\k da dx<f> '
Это соотношение должно быть тождеством, если предполагаемый интеграл
действительно им является. Итак, наше соотношение является производной по
а тождества (44). Действительно, дифференцируя формулу (44) по а и
замечая, что эта величина входит только в 0, так как она содержится в
t dS
Si,к -
dx<*f> '
мы получим тождество
d*S _ 'Щ? k=^rl d&_ d*S dt da dtik йа(1х(ЧУ
Каждая из постоянных а даст соответственно интеграл уравнений (47).
Итак, как и раньше, если функция S содержит тп произвольных постоянных аъ
а2,..., атп, не считая аддитивной, которую мы для сокращения обозначим
через С, мы получаем все интегралы уравнений (47) и, следовательно, все
интегралы уравнений (14). Последние могут быть написаны в виде
(48)
где г, к, г изменяются соответственно от 1 до т, от 0 до к - 1 и от 1 до
тп, а аг является новой произвольной постоянной.
Если количество постоянных а, содержащихся в S, меньше тп, мы получим
частное решение уравнений (14). Для этого нужно будет проинтегрировать
сначала уравнения (47), так как функция S в этом случае не даст значения
этих интегралов. Если функция S содержит больше чем тп постоянных а, мы
получим полное решение уравнений (14), не отличающееся в дей-
352
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
ствительности от решения, полученного в случае, когда число постоянных а
равно тп. Это можно показать на основании теории дифференциальных
уравнений в частных производных. Интегралы (48), даже если их число
больше 2/ля, не дают в действительности более 2/ля различных соотношений
и различных произвольных постоянных.
Следуя Лагранжу, назовем полным решением или полным интегралом уравнения
в частных производных всякую функцию, удовлетворяющую уравнению и
содержащую столько произвольных постоянных, сколько имеется независимых
переменных.
Значение S, удовлетворяющее уравнениям (14), является полным интегралом
уравнения (44) или (45), так как удовлетворяет этим уравнениям и содержит
тп -f- 1 произвольных постоянных, т. е. столько же, сколько имеется
переменных t их, рассматриваемых в уравнении (44) как независимые.
Функция
S = J Vdt,
т
где за произвольные постоянные а мы приняли начальные значения х,
является также полным интегралом уравнений (44).
Мы видели раньше, что она дает интегралы (43) уравнений (14), теперь же
мы видим, что, кроме нее, эту роль может играть любое полное решение
уравнения (44) или (45), т. е. являться интегралом уравнений проблемы
изопериметров.
Мы заметим также, что всякое полное решение S уравнения (44) дает
дифференциальное соотношение
dS - V dt.
Действительно, дифференцируя, получим
,-fo i=m к-п-1 ,jq
<ts=^a + 2 2-§sd*<'
al /=1 k=0 <
ИЛИ
следовательно, или, что то же самое,
l = m к = п- 1
dS = edt + dt 2 2
(=0 fc=l
dS = (<9 + T)dt= Vdi,
i = m fc=n-1 r=mn jo
ds=vdt +2 2 кч+ 2 Ж'8°r +6C-
1 = 1 k=0 r= 1 ur
9. Рассмотрим специальный частный случай, когда имеет место закон
ш dv
живых сил. Мы знаем, что в этом случае производная по времени содержит
лишь переменную t. Это позволяет разложить функцию V на две части: одну,
содержащую лишь неизвестные и их производные, и другую, зависящую только
от времени. Так как эта последняя часть является точной производной, ее
легко исключить с помощью замечания, сделанного в начале параграфа 5.
После этого функция V не будет содержать времени явно.
Мы будем продолжать пользоваться буквой V для обозначения измененной
таким образом функции.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 353
Так как имеет место уравнение живой силы, то
0 + h = 0, ' (20)
где h означает произвольную постоянную.
Заметим сначала, между прочим, что если обозначить через <90 значение в
для t = т, то получим
& = е0.
Следовательно, уравнение (44) можно переписать в виде
dS п
w = e°'
где <90 является функцией начальных значений переменных х и ?, т. е. ёР и
dS
aiik. Заменяя здесь с помощью формул (43) аик на производные
>
мы получим уравнение
f = 00 (49)
между величинами а, частными производными функции S по этим величинам и
по времени. Таким образом, в рассматриваемом нами частном случае S
удовлетворяет сразу двум уравнениям (44) и (49).
Но, само собой разумеется, что S будет не любым полным решением уравнения
(44), а лишь тем полным решением, при котором произвольные постоянные
суть начальные значения переменных х.
Если мы заменим ? в первом из двух уравнений
<9 + Л = 0, <90 + Л = 0 ,
и а во втором на соответствующие производные S, то получим два других
уравнения в частных производных, которым удовлетворяет то же самое
~ dS
полное решение и которые не содержат производной-- .
Мы вернемся в дальнейшем к первому из этих уравнений.
