Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Мы видели, что символ (г, s) обращается в нуль всякий раз, когда он не
относится к начальным значениям соответствующих переменных, и равен -f 1
или - 1, когда относится к ним. Следовательно, кроме (а(/:), aiik) = 1 и
(aitk, а\к)) = - 1, все другие значения (г, s) в предыдущих уравнениях
суть нули, т. е. уравнения имеют очень простой вид :
Формулы (86) являются, по-видимому, более удобными для приложений, чем
общие формулы (84). Эти последние относятся к произвольной системе
постоянных, введенных при интегрировании уравнений (14). Но они дают
только линейные функции дифференциалов наших переменных по времени, а не
каждый дифференциал в отдельности. Для получения отдельных дифференциалов
нужно сначала решить линейные уравнения (84). Наоборот, формулы (86) дают
каждый дифференциал в отдельности и в очень простой форме, но они
относятся только к переменным, являющимся начальными .значениями х и f и
удобным не во всех вопросах.
(85)
Г=1 к'=О
i'= 1 1^=0
daLk = A(f> dt, | da'P = - Ai>kdt. {
(86)
380
М. В. ОСТРОГРАДСКИП
Итак, с помощью частных формул (86) можно найти дифференциалы каждой из
переменных, принадлежащих к произвольной системе величин, введенных при
интегрировании уравнений (14), и притом не разрешая уравнений (84)
относительно этих дифференциалов.
Как известно, интегрирование системы дифференциальных уравнений может
ввести бесконечное множество различных систем переменных величин, которые
называют обычно произвольными постоянными. Известно также, что эти
переменные, когда они принадлежат к одной и той же системе, совершенно
независимы между собой.
Но переменные одной системы необходимо должны быть функциями переменных
всякой другой системы. Так, например, каждая из величин а1г я2,...
..., я2тп, которые представляют собой некоторую систему переменных,,
введенных при интегрировании (14), будут функциями а\к) и aitk которые
являются начальными значениями х и ?. Это происходит вследствие того, что
последние переменные тоже представляют некоторую систему, которая может
появиться при интегрировании (14).
Рассматривая аг как функции а(к) и аик, получим
i=m к=п-1
dor = 2 2
Ы 1 к = О \'iai,k
или, принимая во внимание (86),
d-da^+7^da^
dar = dt? ^
dar
da.
' Ai.k
dar \
da(p ) '
i = 1 k = 0 \
Подставляя на место A(k) и ALk их значения из (85), получим
dar i-.-m ^="-1 I ^ dxw;> ^ d?i'tk-'
dJp
i = m к=п - 1
dar = dt v jg
i=l k=0
dar 'X(tm) b'XXiv dxp , "
~daX 2 л+ k' i,ft i'-l kT=0 V i
dar *'
= m k'=n- 1 doty)
uu i i'= l li' = 0
Xt-x
dx(k,)
da
i, к
da
i, к
Так как
dx(kP
da^P
i-2mn dxf.jp das
5= 1
da, dx(P '
At , , s=2mn At
a^t ,k ___________________ ,k
S- 1
da.
dx^-A
da^P
da, daPp '
dai,k
s-2mn dxdfp da 2
sil das da.,k
da
i,k
s=2mn At 2 '
da.
-л
das dark '
то, подставляя, имеем
I da,
s^l 7^1 k^O
2 mn m n
dar -dt 2 2 2
da.
dai k dafp
dar das daff> da
m n- 1 i.к j i'= 1 UT=0
В силу (83) имеем
dxdj'P
X,'
dxfP
i',k'
da.
+
rffr,
\k'
da.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 381
Следовательно,
2тп т п- 1 /
Ъ = *222аЛлГ;7з(r)
s= 1 1 = 1 k=0 \uui,lc uu I
da№ da(p dai k
или, так как
m n - 1 2 2
i=l 0
TO
dar das dar das
dai k daW ddf> dai k
(87)
2mn
dar - dt (an as) ¦ As. (88)
S= 1
Символ (ar, as) имеет некоторые свойства, подобные свойствам символа (г,
s). Например, очевидно, что
(ап а,) + (в" аг) = 0,
а когда s = г, то
(ап аг) = 0.
¦ Но символ (ar, as) обладает еще весьма замечательным свойством,
заключающимся в том, что, вычисляя его значение, можно употреблять вместо
начальных значений а/к) и а,ук сами величины xjk) и ?itk, так что этот
символ, определяемый формулой (87), можно определить еще и так:
/1 - 1/ Ап Ап Ап Ап \
Мы сейчас докажем это важное предложение, установленное впервые Пуассоном
для случая динамики. Но прежде заметим, что для употребления формулы (88)
нужно вычислить тп (2тп - 1) значений символа (ar, as). Для этого, найдя
интегралы уравнений (14), полагаем t равным его начальному значению. Это
дает все соотношения, которые могут быть между введенными при
интегрировании переменными alt а2,..., я2т" и начальными значениями х и
?, образующими другую систему, могущую появиться при интегрировании. С
помощью этих соотношений находят все частные производные переменных аь
й2,..., а2тп и с помощью этих производных по формулам (89) находят
значения символа (ап as).
Заметим теперь, что формула (89), если придать t начальное значение,
превратится в уравнение
(апаа) = ? ?
Т 1 / da. da. da. da.
fe"o ! da<iC> dai,k
(87)
Из этого мы заключаем, что для доказательства интересующей нас теоремы
достаточно показать, что сумма
Jg ( dar das dar da
i = 1 fc=0
Ж Ж 1 dti k dx^> dxM dt; k
не зависит от времени, т. е. имеет в каждый момент одно и то же значение.
Поэтому тогда, очевидно,
"L "л* ( dar das dar das \ (tm) f dar das dar das
V "v I da' da$ - - dU$ ) = V ( da'
& kTo [ dSi,k da°P dx(P dl,kl i k"0
dx(lp dx^p dait k I '
