Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 161

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 155 156 157 158 159 160 < 161 > 162 163 164 165 166 167 .. 461 >> Следующая

должны быть функциями I переменных и 2тп - I постоянных.
Подставляя эти функции в выражение
i=m к=п-1
2 2 ЬМ*
1 = 1 к=О
и полагая для краткости
1 = m к=п - 1 rfv(k)
2 2
1 = 1 /с=0
мы получим
(63)
1=1 А=О к=п~ 1
dR = 2 2 Ь* dxff? = 2
1=1 fc=0 S=1
Так как, по предположению, выражение J? ZsdCs есть полный диффе-
ренциал, величина R будет вполне определенной функцией переменных ? и
произвольных постоянных. Дифференцируя ее по какой-нибудь из произвольных
постоянных, обозначенной буквой а, получим
т tto[ ^ ^ '• da J da'
НО
следовательно,
hkd
dx(r)
da
^ At , Alt d
1 = Я1 k = n- 1 / t]?
2 2
i=1 h=0
dx^P
da
dxdp-^-d^
dR
da
i=m k=n- 1
-2 2
i=l fc=0
Если же продифференцируем по одной из С, то найдем
г=т к=п-1 ,
1 "НА Av(k) I t A I
dx(r)
da
(64)
dP dP ,=m K=n-l / df., dx(r) \ i'=m;=n-l
*¦2i+5Г":^ 2o 4*^dir
или, принимая во внимание (63),
i=m fc=n-1 / At,, Ax(k)
2 2 + '
i=l h=0 1
dC
Так как
I d dxV
Si,к a df
^ id if dx(^
"df~ "Sj,ft + " I s/,fe df
мы получим тождественный результат
i=m к=п-\ I At,, dx(r)
2 2
1 = 1 /. = 0 Is ,
ни к чему не приводящий.
wid,?
i=m .'.="-1 dr(r) - ^ '
f = l
=0
dt
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 3g|
Первый член здесь равен нулю вследствие интегрируемости выражения
i=mк=п-1
а второй - в силу формулы (63).
1=1 к=О
Установив это, возвратимся к интегралу живых сил
0 + h = 0.
Так как он употреблялся для выражения х и ? через ? и произвольные
постоянные, то он превращается в тождество после подстановки этих
выражений и после дифференцирования дает 2тп следующих тождеств :
0:
d@
dh
-Т 1; О
d0 n _ d(r)_ dar ' U_ dCs '
где индексы г и s принимают соответственно значения 1, 2,..., тп - I - 1
и 1,2,...,/, потому что, хотя число произвольных постоянных равно тп - /,
одна из них есть h. Число же переменных ? равно I.
Предыдущие тождества приводятся к следующим:
О
° = ^ 2'
1=1 4=0
i=m к=п-1
° = 2 2
1 = 1 = О
-л-1 / 2 (=0 { d(c)
d0 dh,k
\dkk dar
d0 d%i,k
d%i,k <
i,k . d(c) <1хЮ
L. "г ,.Jk\
+
+
cl0 dx?f > j
dB dx(P
dx&> d?s
После умножения на dt и замены частных производных 0 их значениями из
уравнений (14) два первые тождества обратятся в уравнения
i = m = л- 1 dt = 2 2
(d?ik dxffi ^
~~dt d*p --fi-d?iM ,
l = m k=n-l(dgt' da
0 = > у
i k = о
k dxW - dX(L dS
dar
i,k
(65)
или, принимая во внимание (63) и (64),
dR
dt = d
0 = d
dh
dR
dar
i = mk=n- 1 ,/v(fe)
-2 2 1
1=1 k=0
i=mfc=n-l
-2 2 Ь
dh
dx(p
(66)
, = i k = 0 dar
откуда непосредственно получаем 2mn - l интегралов
+ s ;
dR___i=mk=n-l dx(k)
~dh~
1=1 fc=0
dh
dR i = m k-n-1 dx(k)
= У У Stk-
da- d d ¦
(67)
dar dar
где буквы e и ar обозначают произвольные постоянные.
ост о ск и
Комбинируя эти интегралы с теми, которые мы предположили известными
заранее и которых было 2тп - I, мы получим 4тп - 21 интегралов. Но они
должны сводиться по природе дифференциальных уравнений (14) лишь к 2тп
различным интегралам.
После того как мы найдем столько интегралов уравнений (14), сколько
l=m к=п-1
нужно для того, чтобы выражение iijc dx(r), при x и $, связан-
i = 1 =0
ных полученными интегральными соотношениями, превратилось в полный
дифференциал, можно завершить с помощью интегрирующих множителей решение
уравнений (14). Эти интегрирующие множители находятся очень легко.
Действительно, умножая наши уравнения соответственно на _ и d^-k
и складывая их, получим
;=тп к=п-1 2 2
dSik , (к, Дх(r) t
_ ,,к dx(k) i_ d?(lti
ап
к)
1=1 /. = 0 Отсюда, вследствие того, что
22
найдем
д(c) dx^p
dx(r) dh
i=m k = n -
= >'
i"l /? = 0
+
= " i=i -df^ / =
d(r)
rti,k dh /
rti.k dh dx(r) -
ап
1=т Н=п-1 d& dx(k) ^ d@ d^
I--------
dh
0
dy?f> dh d?itk dh
an
Дх(r)
dh
dkk
Тем же самым способом, употребляя аг вместо Л и принимая во внимание
а(r)
1 - m к - п-1
2 2
1 = 1 fc = 0
d(r) Дх(r) (1(r) d?ik
dx^p dar
найдем
i=m к=п- 1 dt. dx(k)
a?i,k лЛк\ ax i
o-2 2
1 = 1 k=0
da.
d^i,k dar
dx(r)
dar
dar
dti>k
= 0,
Легко проверить, что функция
22(§i*f>
da
из которой исключены все переменные, кроме С, есть полный дифференциал.
Величина а обозначает там одну из произвольных постоянных Л,, аь а2,...
..., а2тп-,. Действительно, если обозначить через С и С' две любые
величины из Сь С2, • • •, С,, нам останется только доказать равенство
L(y *=х' (Ъл _ Дх^ д^| = f"x [ da Д?' Да ДС' J
ДС
i^m к=п~ 1
Д " V ' ( d^i,k dx(P dx(p dP,k)
~ ДС' i ' da rt da rt У
Произведя дифференцирование и необходимые преобразования, получим
i-m к=п- 1
п_х- X rth,k , rti,k rtxf dx(P d%k rti,k rtW)
J"i kto V rt' da rt + ДС ДаДС' ДС ДаДС' ДС' da ДС)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 363
О = -- ''У ' У 1 ( ^ d^i,k _ d^J<
Й й ¦ й) ' rf?' ^ " dt-'
но выражение
i=m к-п~ 1
dShk dx(r) </г,Л
trx tro V dr <К d? ~ rfr i
тождественно равно нулю вследствие того условия, что выражение
i=m к=^п-1 ^ 2
i = i fe=0
s=l
сведено к переменным С, т. е. ZsdC5 есть полный дифференциал. Таким
S-- 1
образом, множители _ dx^^ ц dSitk делают уравНение (14) интегрируемым, и
Предыдущая << 1 .. 155 156 157 158 159 160 < 161 > 162 163 164 165 166 167 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed