Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
dX dt {в + h) = I dh dt + dt ^ Z, dcoi + d ^ V Cfi* Au<?>
!=1 (=1
и, наконец,
i=m
<5 dt [V + X (в + /г)] = X dh dt + 2 +.z*)d(01 +
+ d
i=i
i = m k=n-1 i=m k=2n-2 I
Vdt+ 2 2 hkdosp + v- ^ k'MV I-(=1 *=0 (=1 fc=0 J
Рассматривая, так как это допустимо, произведение X dt как дифференциал
dp некоторой функции /г, мы можем член
X dh dt
предыдущего выражения представить как полный дифференциал
d (ц dh).
Следовательно, для интегрируемости вариации
<5 [V dt + (0 + h) d[i\
нужно лишь выполнение равенства
Si + Z,= 0, (28)
а это равенство имеет место для всех значений г.
Из уравнения (28) следует, что интеграл нашей вариации будет иметь вид
J d [V dt + (0 + h) dfi] = const + fi dh + V dt -f-
i=m k-n- 1 i=m k-2n-2
+ 2 2 $,**u<!c)+ 2 2 kkdvf. (29)
i = l k=0 1 = 1 k=0
Уравнения (28) вместе с уравнением живых сил составляют i -f 1
урав-
нений, т. е. как раз столько, сколько неизвестных. Действительно, кроме i
функций х, у нас есть еще неизвестная X или fi.
22*
340
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
Величины f нам уже известны из формул (3), а величины ? можно найти из
формулы (27), которая последовательно дает
? 3 ^(r)
W,2n-2 Л d?(2"_i) >
? _ 3 d(r) _ 13 d(r) Г
42n-S - Л dx(?"_2) ^ dx(p-l) J >
? 3 <*(r) h <*(r) V , f; <*(r) Г
Ч2п-4 л rfx(2n-S) Г rfx(2n-2) J f (;• dxqn-l) ) '
? d@ U d@ у d@ у f d@ \">
42n-5 dx(?n- .1) [ J + 1 d^"-2) j ( dx^-1)
s-2n-k-2 i rf(a ws)
t,.,- * (-O' pspT" ¦
s=0 v 1 J
s=2n-3 , d& ws
fu= ^ ("1)Ф 1
5 = 0 v
s=2n-2 / л/ь \(S)
t"-
dX(f+2)
d@ Vs>
s=2n-l
Zi= 2 (-W
s=0
d@ Vs)
dxf-p
Мы уже видели из предыдущего, что условия (9) и (28) интегрируемости
вариаций
д(V dt) и дdt[V + Х(в + h)]
совершенно различны, если только мы не положим X - 0.
В этом случае Z, превратятся в нули и уравнение (28) обратится в
уравнение (9). Но предположение X = 0 есть лишь частный случай, и,
принимая его, мы сужаем решение занимающего нас вопроса. Это положение
принималось Лагранжем тогда, когда великий геометр, исходя из принципа
наименьшего действия, выводил общие уравнения движения. Но если бы мы и
здесь следовали этому правилу и не обобщили множитель, на который нужно
умножать уравнение условия, с последующим прибавлением к вариации
интеграла, который должен иметь минимальное значение, то получили бы
результат, аналогичный формуле (28), т. е. совершенно отличный'от
найденного нами.
' ^Из предыдущего анализа видно, что если переменные связаны соотношением
<9 + h = 0, (20)
то им отвечают минимумы интегралов § V dt а § Т dt. Следовательно, за
принцип наименьшего действия можно принять формулу
d$Vdt = О,
так же как и формулу б j Т dt = 0.
Неизвестные х, которые дают минимальные значения этим двум интегралам,
совершенно отличны от тех, которые дают абсолютный минимум пер-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 34J
вому из интегралов. Этот результат, по крайней мере в первый момент,
покажется некоторым читателям удивительным. Действительно, предположение,
что функция V содержит лишь время /, продолжает оставаться в силе, и
неизвестные х, дающие интегралу I V dt абсолютный минимум, необходимо
удовлетворяют уравнению
0 + h = 0. (20)
Поэтому естественно думать, что абсолютный минимум этого интеграла и
минимум относительно функций х должны достигаться одновременно. Но это не
так. Ниоткуда не следует, что абсолютный минимум нашего интеграла,
будучи, без сомнения, и относительным минимумом, является в то же время
наименьшим из всех значений интеграла J V dt, отвечающих переменным X,
удовлетворяющим уравнению (20).
Все что мы сказали, относится также и к случаю, когда мы вынуждены
рассматривать лишь интегрируемость вариации 8 (V dt). Действительно, если
эта вариация интегрируема, то она остается интегрируемой и в том случае,
ели мы подчиним Sx уравнению
8(0 + h) = O.
Она даже может стать после этого интегрируемой в том случае, если не была
интегрируемой ранее.
Предыдущий анализ, учитывая все обстоятельства, дает все случаи
интегрируемости, как абсолютные, так и относительные. Первые отвечают
предположению 1 = 0, вторые требуют, чтобы 2 была отлична от нуля.
Предположение
2 = 0,
очевидно, допустимо ; оно уменьшает число неизвестных, но в то же время
делает одно из уравнений, а именно уравнение (20), следствием остальных.
Один интеграл уравнений (28) легко найти. Это можно сделать несколькими
способами. Мы изберем способ, заключающийся в том, чтобы добиться при
подходящем условии интегрируемости вариации
8(Vdt + (& + h)dM),
находящейся в первом члене уравнения (29). Это уравнение, принимая во
внимание формулу (4) и то, что вследствие 0 -f h = 0 выражение
д (0 + h) d/t = dii 8 (0 + h) = 2 д (0 + h) dt
можно представить в виде
п i=m \ i=m к=2п-2
2S(0 + ft) + ^2,дш \ dt = const +м 8h + 2 2 Zt.uW*
J (=1 / (=1 fc=о
или
i = m k-2n-l
8(0 + h)dt = d (0 + h)dt + <5/2 dt + dt ? 2 ТЩ ^ •
i _ 1 u"0 X i
Следовательно, исключая d(0 + h) 8t = 0, получим
J''(i = m k=2n-l i = m ) i = m k-2n-2
2 2 -7Ж)dojk + 2 s< H dt =const + 2 2 к* Mfc)-
