Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
определяли как
уже имеет правый множитель, коммутирующий с Н. При вычислении Q - V (-/Я)
К-1 этот множитель, содержащий нелокальные члены, исчезает. Вспомним, что
эти нелокальные члены выражаются через логарифмические производные от т и
поэтому являются интегралами от hr, er, fr - координат в фазовом
пространстве.
Решение (5.227) - это (5.223), где k - величина, обратная левому
множителю в
которая может быть вычислена. Факторизация - это не всегда простая
задача, и у меня нет доказательства, что это может быть сделано.
Переписывая (5.209) как
Эти уравнения эквивалентны (5.99). Для Я-солитонного решения уравнения
(5.229) - это система неоднородных линейных уравнений порядка 2N.
Оказывается, что матрицей коэффициентов для нее служит Я-солитонная т-
функция, т из (5.70). В случае общего решения система линейных уравнений
имеет бесконечный порядок, и определитель матрицы коэффициентов, который
и есть т-функция, тоже бесконечного порядка.
Поэтому у нас есть второй способ ввести и определить т-функцию.
Вспомните, что впервые мы ввели ее в разд. 5d как потенциал. Здесь это
определитель бесконечного порядка, порожденный решением задачи Римана -
Гильберта. Напомним (см. разд. 5g), что вспомогательные т-функции о, р
могут быть построены из т с помощью преобразований Бэклунда - Шлезингера.
Позвольте показать, как выполняется (5.230) в случае простого примера.
Этот пример соответствует простейшему виду связанного состояния (Я, Я),
описанному в разд. 5g, а именно
g = ехр (/ X tft/H) k '(0),
(5.229)
kg = n
и беря затем проекцию на К, получаем
П kg = 0.
(5.230)
к
288 Глава 5
N= 1, N = 0. Тогда из (5.99а, Ь) (я нормирую собственные функции так: ф
~(g)e~iQ, ф~(9)е*э, л:->- + оо, 0 = ^?+)
Ф К. <;)"" = ( о ) + 7+7 Ф^1*'.
*(?, /,)"-"=("). е, = ?>,,
откуда Ф1 = (^)е'01. Итак,
( 1 °'
* = Kexp(/?5fy0= ye2101 t
VC-C,
Можно найти fi(tj), вспоминая, что первый член асимптотического
разложения матричного элемента (2, 1) в k есть ifi/2^, где
fi (/,) = -2/уА Заметим, что f, t - - 2iy (2/?{) e2ie> - (-• г/2)/_1 f, ^
где
/, <t , обозначает производную порядка / от fi по t\ = х\ ей а потому и
е, суть тождественные нули. Таковы уравнения Лакса в этом случае.
Давайте проверим, что проекция kg на К равна нулю. Рассмотрим
( е-1'9 0
kg = k (tj) e~iBHk~l (0) = в2г(9'-е)-1 pi0
V ve E -Ci
Вы заметите, что полюс в ?i можно удалить и что kg разлагается в ряд
Тейлора около Поэтому kg принадлежит N. Далее, давайте проверим также
Q = k (t,) (- iH)~l k (1,) = ( _-2ij_ gmi . ) = - iH + F. Но мы знаем,
что
OO f
f{ 1 , i sp f1.11
r-Zv-U-jZ-
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 289
Так как е == 0, то h? = -1, или й =-i. Итак, (5.223) есть Q = -iH + OE +
fF.
Еще о преобразованиях Бэклунда-, схема "одевания" [108] Захарова -
Шабата, Полезно заметить, что вид (5.223) весьма напоминает (5.134)
Q = RQR~l
для преобразований Бэклунда. Также (5.226Ь) в точности совпадает с
(5.133), если вместо k написать R. Действительно, чтобы добавить одно
связанное состояние в точке ? = к вакууму
Q(t,) = -iH, V(t"Q = e-(tm)
оо
с 0=XS^/> мы используем (5.184):
( -2i(Z-Zt) -
= - 2i\em' -1 )'
что можно нормировать и получить
со
Интерпретация (? - ?[)~ как XI (?{/?/+1) означает, что такое R
оо
в точности имеет форму ^ Поэтому R можно запи-
оо
сать как экспоненту от элемента X XfcT1 подалгебры К и,
следовательно, R принадлежит R. Читателю следует сравнить это со
структурой R, используемой в преобразовании Бэклунда- Шлезингера и не
имеющей этой формы.
Принципиальное различие между (5.223) и (5.134) состоит, конечно, в том,
что первое соотношение говорит нам, как начальное состояние Q(0),
Q(0) = k (0) (- iH) k~l (0), (5.231)
эволюционирует под действием набора потоков {4}Г> тогда как последнее
связывает два разных типа решений при фиксированном наборе значений tk, k
= 1, 2, ... . Тем не менее они тесно связаны, и я сейчас покажу с помощью
(5.231) и (5.223), что мы можем описать преобразование Бэклунда на языке
метода редукций.
290 Глава 5
Давайте начнем, например, с вакуумного состояния (для него мы используем
индекс 0)
Qo (0) = - IH, К0(0,?) = /,
которое эволюционирует под действием потоков как Q (t,) = - iH, V(t" ?) =
e-""
С другой стороны, если мы начнем с начального состояния то его временная
эволюция описывается формулой
ОО
где 0, = 2 Wf Соответствующая собственная матрица Vl есть
где k(tj)-это величина, обратная левому множителю в разложении элемента
- iQH *-1 /г\\
е к (0),
который я обозначаю
(,e~imk~l(0))_.
Заметьте, что это также равно
(0) ети)_,
потому что етн принадлежит N, а любой элемент N можно умножить справа под
знаком нижнего индекса минус, т. е. (k~lnn')- = (й-1п)_ = кг1.
Эти наблюдения подсказывают алгоритм получения новых решений из
вакуумного состояния. Возьмем элемент й-1(0), принадлежащий К, который,
как я упоминал, связывает два типа решений в момент времени нуль (здесь
это одно связанное состояние и вакуум). Образуем произведение
