Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 105

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 113 >> Следующая

правило внутреннего умножения есть
(Z, ?>)=1; (5.272)
оно необходимо, чтобы выполнялся закон объема параллелепипеда
(X, [У, Z]) = (Z, [X, У] > = (У, [Z, X]> (5.273)
для X, У, Z е G. Проверте его, например, для X - D, 4 = = Z = Y<=G.
Давайте рассмотрим несколько примеров. Пусть JfsG;
N
вычислим [уФ*(Х), Х\. Опять уфk(X) = - SkX=-YiX-i^i+k>
оо
X_j е si (2, С), но обратите внимание, что из-за дополнительных
304 Глава S
членов, пропорциональных центру в (5.271с), коммутатор не нуль. Поэтому
функции Ф*(^) больше не являются ad-инвариантными, и мы теряем одну из
отправных точек исходной теории. Тем не менее можно проверить, проследив
за всеми деталями, что если
оо
Q = ? (hrH + егЕ + frF) Гг + cZ + dD,
0
то уравнения Лакса Q*fe = [Q(fe), Q]~ останутся справедливыми и с и d -
константы.
Далее вычислим коммутатор градиентов от Ф*-ь Ф/_ь т. е. гамильтонианов
для потоков Д и tj на si(2, С). Мы вычисляем градиенты в выделенной точке
е = -iHt, пространства К*, т. е. УФ*-Д-Ш?) = -iHt,k. Мы находим
[УФ*_1 (- т), УФ/_1 (- т)\ = [- iH?, - iHt>] = - 266/+* оZ.
Поэтому последовательность {V(r)*_i (-*Я?)}"=_Ю порождает
подалгебру Гейзенберга в А[1\ и мы можем ввести представление
-iHlk k>0,
olk
-iH&-*2jt_" j < 0.
Читателю также следует проверить, что последовательность {УФа-i(е)}, где
е - это выделенный элемент е = -F^-\-E в альтернативной градуировке,
также порождает подалгебру Гейзенберга. Тот факт, что всем управляющая
алгебра А^1 имеет подалгебру Гейзенберга, убедителен, ибо мы знаем, что
алгебра скобок Пуассона между данными рассеяния - это алгебра
Гейзенберга. Читатель помнит, что основная идея метода обратной задачи
состоит в переходе от старых координат q, г, qx, гх, ... и т. д. (в нашем
обсуждении мы считаем х выделенным временем) к новым координатам типа
действие - угол, которые при г = -q* суть
р = (-^-1пшГ(|), I вещественно, 2t?ft, 21?*. 6 = 1.......я),
q =(ln ?>(?), In bk, In b\).
В [70] показано, что по отношению к скобке
ОО
Г ( 6F 6G 6F 60 N ,
{F' G}= ) Ы--6Г--Й7W)dx
- со
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 305
оказывается, что {ph qt} = 6ц, {ph pt} = {qh qt} = 0, и для вещественных
S-, I' {р (?), q (?')} = 6 (? - I'), {р (?), Р (?')} = 0, {q (I), q(l')}
- 0. Я еще не знаю, как отождествить эту подалгебру Гейзенберга с той,
которая порождается последовательностью {-iHlk)Z^, но верю, что одна
является проявлением другой.
В дополнение я хочу обратить ваше внимание на ряд ситуаций, когда важен
элемент с производной t,d/dt,. Мы знаем, что при третьем определении т-
функции формула (5.91Ь) имеет вид
(V-'DV, -^Я)0 = ^-1пт.
Мы также отмечали, что формулу для тензора тока Fiti лучше всего
записывать в виде
Flk = ([D, п"ЧФкт, VQ)0.
ОО
где Q- 2 Qc? r. Q0~ - iH и D - ^d/dt,. Читатель узнает этот
о
коэффициент как дополнительный член, пропорциональный центру Z, который
появляется в коммутаторе
[ntfV<D*(Q), ?'Q]
и который описывал бы временную эволюцию элемента QQ под действием потока
tk, если бы QQ принадлежал KL. В общем случае, конечно, это не так.
Однако на чисто формальном уровне, если записать временную зависимость
для QQ + c,Z + dtD, тогда
-Цг- № + CjZ + dsD) = [Q<4 VQr + Flkz. (5.274)
Это означало бы, что d/ является константой и что с, - это градиент 1пт,
т. е. д In x/dtj. Заметьте, в частности, что в случае / = 0, когда
формула (5.274) действительно выполняется, сПпт/д/0 = 0. Это оттого, что
зависимость всех величин er, fr от to экспоненциальна; ех (t0, tu ...) =
ех {tu .. fx (t0, th ...
...) = fl(tl, . ..)e2iu. Тогда из-за того, что hr вычисляется из ?~г-
компоненты уравнения Л2 + ef = - 1, все функции hr (и, следовательно, т)
не зависят от to-
Наконец, я хочу, чтобы вы обратили внимание, как важен оператор t,d/dt,
вместе с его произведениями на степени ? для построения точно решаемых
неавтономных уравнений. Эти уравнения также являются естественной
иерархией для AV\ но совершенно отличны от тех, что мы уже видели. В
некоторых предельных случаях это те уравнения, которые получились бы
306 Глава 5
при поиске обладающих масштабной инвариантностью решений предыдущей
иерархии. Читателю следует вспомнить обсуждение в разд. 5f(iii). Мы
найдем один из простейших примеров этих новых потоков, если рассмотрим
условие интегрируемости пары уравнений
Vx = Ql>V, (5.275а)
Vt + СП = (Q(3) + *Q(1)) V. (5.275b)
В результате перекрестного дифференцирования получаем Q(" - Qf - (*Q<")X
+ [<?•>, Q(3)]~ = 0,
где [ •, • ]~ есть старый матричный коммутатор алгебры
si(2, С). Член ?(d/cft;)Q(1> сокращается с членом 1-Q0 из (xQ1)*,
и остается
Qu ~ (*?.)* ~ Q(x3) + [- + <?.. Q(3)\ =
Это уравнение удовлетворяется в точности при нашем первоначальном выборе
Q(3) = -/#?3 + Qi?2 + Q2^ + Q3, Qr = hrH + + erE + frF. Приравнивая
коэффициенты при ?°, мы получаем эволюционные уравнения
Qt - (хЯх) + -j (qxxx - 6qrqx) = 0, (5.276а)
П - (хг)х + \ (гххх - 6 qrrx) = 0. (5.276b)
У этих уравнений есть несколько черт, на которые стоит обратить внимание.
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed