Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
градуировки. Каким дифференциально-разностным уравнениям они
удовлетворяют? Например, если бы т зависела от двух дискретных переменных
т, п, то должны ли "решеточные" уравнения, которым удовлетворяет т(т, п,
tk), иметь какое-нибудь отношение к статистической механике?
Идея, что важно позволить т-функции зависеть от дискретных переменных,
восходит к работе Дзимбо и Мивы [125]. Читателю, который хочет узнать о
последующем развитии, следует посмотреть том 2 новой шпрингеровской
серии, где опубликованы доклады конференции Research Institute of
Mathematical Sciences (RIMS), проведенной в Калифорнийском университете в
Бэркли. Название этой конференции "Вершинные операторы в математике и в
физике".
Упражнения 5j
1. Покажите, что последовательное применение "одевания" Захарова -
Шабата является групповой процедурой.
Ответ. Пусть V\ - {(K0gJV')-} К0; рассмотрите
V2 = {(К i/гКГ1)-} V1 = = {(V0gVо-1)!' VohVо1 (V0gV^)_Y_l {VogVol)Zl V0.
Первый множитель слева в фигурной скобке уже принадлежит К и поэтому
может быть слева отброшен; после взятия обратной степени он оказывается
справа и сокращается с (RogVV1)- ' Тогда мы имеем
294 Глава 5
Но из-за (k 1n)_ - (k 1пп')_ мы можем умножить под вторым индексом минус
на (Ко?У<Г')+. Поэтому
{JWo-1 (VogV о"1)-}!1 = (VohgV о"1):1.
2. Вспомним, что в (5.90) мы выражали элемент фазового пространства Q-
Нш с матрицей QW, заданной в (5.57)
&->оо
в упражнении 5с (3), как
AjQ=-V(-iHQV~l = OXMJ~l. (5.233)
В частности, заметим, что в главной градуировке разд. 5h, которая
порождает разложение, использованное в упражнении 5с (3), матрица XX
принадлежит К*, а О, которая имеет асимптотическое разложение / + члены
веса (-1) или меньше, является экспонентой от элемента К. Матрица О может
быть выражена в терминах т-функции КдФ:
U=±i т++1" 'l
2т i?(T_ -тЦ+^-(т+ + т_) *+ + ''-+xik
где %± = x(tk±i/{2k - l)^2*-1), k~\, 2 ... . Теперь интерпретируем
уравнение (5.233) (которое естественно возникает, когда мы рассматриваем
алгебру как фазовое пространство, а потоки как кривые в этом
пространстве) в качестве уравнения, из которого мы узнаем, что происходит
с т-функцией. Во-первых, по аналогии с последним подразделом разд. 5е
покажите, что (5.233) содержит уравнения Хироты для семейства КдФ. Во-
вторых, используя (5.233) и объясненную ранее схему одевания Захарова -
Шабата, покажите, что формула добавления одного солитона к вакуумному
состоянию может быть записана как т->-ехр РУ(^) -т, где р = ехр(--2rp:0),
? = "1 и У(?;) -это вершинный оператор (4.124).
5к. Потоки уравнения sin-Гордон. В разд. 5с мы ввели уравнение Лакса для
положительных временных (tk, k ^ 0) потоков (5.52)
Q** = [Q(ft), Q],
где Q - это lim (W) Q(/), и
/->оо
q(/)=s/(qo + -|-+ ••• +|f)-
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
295
Эти уравнения Лакса есть условия интегрируемости для
Но известно [23], что потоки уравнения sin-Гордон получаются, если
включить в (5.233) новые уравнения, соответствующие k < 0. Например, при
k = -1
и совместность уравнений (5.234) при k - 1 и при k = -1 дает
Несложные вычисления показывают, что это уравнение sin-Гордон. Пусть Q0 =
-iH, Qi = qE + rF, Q_i = h^H + e-\E + f^F. Находим
Теперь посмотрим на уравнения, которым удовлетворяют квадратичные
произведения:
h = - i (^ife + ^i4>2). e = 2to|>1aj>1, f = - 2i^2, (5.237)
гДе if и тр - векторные решения (5.234), определенные в разд. 5f(i), с
тем отличием, что при х-*-+.оо они нормированы на асимптотику
Vtk = (r)k)V, k > 0.
(5.234)
- Qirn + [Q(U, Q(-I)] = 0.
h_lx = qf_l - re_l, e_lx - - 2qh_i, /_u = 2rA_I.
r
qt_=2ie_ "
- 1
2
(5.236a)
(5.236b)
(5.236c)
(5.236d)
(5.236e)
(5.238)
Находим
hx = qf - re, ex 2itje = - 2qh,
fx - 2 it,f = 2 rh.
(5.239)
296 Глава 5
Заметьте, что если разлагать (5.239) вблизи ? = оо,
(5-240)
то в точности получим h, е, f в
Q -]Г hrff + *rE + frF
о ^
Теперь разложим около 5 = 0. Отметим, что первые члены удовлетворяют в
точности тем же уравнениям, что и h-и е~\, /_\. Поэтому (5.236а, Ь) суть
= r<_1s==_4'№l;-o- (5.241)
Для простоты возьмем q==r = (ux/2). Тогда % = sh(u/2), ф2 = ch(u/2), ч|л
= ch(u/2), ф2 = sh(u/2) (где требуется, чтобы и-*-0 при я-*-±оо), откуда
(5.241) - это просто уравнение sh-Гордон
Uxf_, = - 4 sh и. (5.242)
Аналогично, если мы возьмем а==-г - -их/2, мы обнаружим, что (5.241) дает
уравнение sin-Гордон. В этом случае мы можем позволить и быть любым
числом, кратным я, при х-э-+оо. Мы можем продолжить. Нетрудно показать,
что если взять
Vt_, = Q(-2)K = (-p-Q-i + }q_2) V, (5.243)
то тогда
^Lo' ^_2 = 2^^2Is=o- (5.244)
Перекрестное дифференцирование (5.243) и (5.233) с k = 1 дает Qo<_a - 0,
(5.245а)
Qu_3 = - [Qo, Q-2], (5.245b)
Q-u = [Qi. Q-il. (5.245c)
Q-2x - [Qi. Q-2] + [Qo. Q-iL (5.245d)
Заметьте, что (5.245c) совпадает с третьим уравнением (5.235),
и элементы Л_2, е-2. f-2 матрицы Q_2 = Л_2Д -j- е~2Е + f-2F удовлетворяют
тем же уравнениям, что и dh/dt,, de/dt,, df/dt, в точке
