Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
что оно записывается в форме (5.100а).
В частности, ?-1 во второй компоненте вектора V2 и в первой компоненте
вектора Vi равны соответственно (i/2)fi и -(//2)е\, где последние как
функции от х имеют форму решения, отвечающего связанному состоянию (N,
N). Применим R+, плюс-преобразование Шлезингера. Но из определения плюс-
преобразования Шлезингера мы знаем, что его действие состоит в изменении
монодромии V в точке ? = оо на множитель
Это означает, что новое V имеет вид (-2ЩУ\, (1/2t?)V2), где V1 и V2
заданы (5.100а) с векторами С^, C2k, заданными точно теми же выражениями,
как и прежде, где ряды е, f, h заменены новыми рядами ё, f, h,
полученными после преобразования Шлезингера. Читатель может проверить,
например, что происходит с вектором
при умножении на
Находим
R+V\ = -Щ
{
2?2 Глава 5
Вспомните, что fi = 1/ei, и проверьте, что
X X
~dtT 1п е' = 2Г S
X
+т S - dx ~ ~kikln е'=~к S ё^ь
используя fa -h2 - (i/2)(d2/dt2i)\nei (см. непронумерованное уравнение
после (5.165)). С другой стороны,
I ~ \ 1*^1
, . _ 2Гб1+ +7^Г
R+Vz - 2/5| _S,
Поэтому новая матрица V соответствует решению ё\, /ь относящемуся к
связанному состоянию (N -f- 1, N- 1). После N при-
менений jR+ второй столбец новой V имеет второй столбец 1 I,
что означает, что новое щ, которое мы называем q-^ (первое в\ - это q,
второе ё\ = qx и так далее), есть нуль. Но из (5.161) мы знаем, что
последовательное применение N преобразований R+ дает решение для цепочки
Тоды между точкой, помеченной нулем, и точкой, которую мы называем N.
Следовательно, если q - это решение, отвечающее связанному состоянию (N,
N) иерархии АК.НС, то движение помеченной нулем точки в цепочке задается
пространственной формой решения q. Далее, точка, помеченная N, будет
иметь решение qjj = 0, которое означает, что ujj, определенное с помощью
ехрUjj = qjj, равно -оо. Поэтому последовательное применение плюс-
преобразования Шлезингера к связанному состоянию (N, N) дает
последовательность qr, 0 ^ г ^ N, qo = q, причем форма последнего решения
как функция х описывает движение во времени точек с номерами от нуля до N
в конечной цепочке Тоды со свободными концами.
Набор дифференциально-разностных уравнений, ассоциированных с sl(n-fl,
С)-потоком посредством преобразования Шлезингера, еще не вычислен.
Мы опять вернемся к теме преобразований Бэклунда в конце разд. 5j. Там я
покажу, как они соотносятся со схемой "одевания" Захарова - Шабата и с
методом редукции.
5h. Замечание о градуировке. В общем случае алгебра Каца- Муди А[1) может
быть определена заданием шести порож-
Связующие звенья между чудесами солитониой математики 273
дающих элементов р0, р\, qo, q\, r0, г\ (для алгебры, ассоциированной с
sl(tt+l, С), нам бы потребовалось 3(n+1) таких элементов) и их
коммутаторов следующим образом:
[Яь Г]] = бцР,;
[Pi, Pi\ = о,
[Pt, Я/] = Atlqh [.Pi, ri\ = ~ Aurh ad l4~Atlq, = ad l~A4r, = 0,
(5.198)
где A{j - это элементы обобщенной матрицы Картана 2) алгебры Л*,1*, по
повторяющимся индексам нет суммирования.
Выражение ad^ 11 qt означает [qtt \qit .... [qp <7;]]], где
ком-
мутатор применяется 1-Ац раз (в нашем случае три раза), т. е. [qi, [qi,
[qi, q,\] ] = 0, i ф j. Например, рассмотрим отождествление
Ро Pi Яо Я\ ro ri
, (5.199)
-H + Z Н Fi Е ЕС1 F.
Правила коммутирования (5.198) согласованы с правилами, установленными
для Xj - h,Fj + е,-?/ + fjFj при Я/ = i~'H, Е/ = = i~iE, Fj = i~iF.
Заметьте, что элемент p0 + Pi=Z коммутирует со всеми другими; он
называется центром. Обратите внимание, как порождаются новые элементы; Н\
или iH получается с помощью [<7ь ро]; F2 или i~2F с помощью -[fltPo
и так далее. Читатель может проверить, что последнее условие из (5.198)
удовлетворено.
Когда центр Z добавлен к базису петель {Hjt Ejt Fj}(tm)^, новый набор
называется центральным расширением алгебры петель si(2, С).
Каждому порождающему элементу мы хотим приписать вес W так, чтобы это
согласовывалось с правилами коммутации
(5.198). Например, мы могли бы сделать это следующим способом:
Ро Pi Яо Я1 'о П ._ .
0 0 10-10 (5¦200a,
Приняв правило, что вес коммутатора есть сумма весов входящих в него
элементов, мы замечаем, что приписывание весов- действительно
непротиворечивая процедура; например, W{[qu г\] ) = 0= W(pi). Сравнивая
отождествление (5.199) с
274 Глава 5
(5.200а), получаем выражение для эквивалентного приписывания весов в
случае нашего базиса:
о о oi
Заметьте, что каждое из слагаемых
h,H, + е,Е, + f,F,
имеет равный вес. Это называется однородной градуировкой.
Но есть другие возможности. Рассмотрим приписывание весов
Ро Pl q° ЯХ Г° Г[ (5 201a)
0 0 11-1-1 (o.2Ula)
которое может быть достигнуто тем же отождествлением
(5.199)
Ро Р\ Яо Я\ го г\
0 0 1 1 -1 -1 (5.201Ь)
- H + Z Я Ft, Е ЕЪ~Х F
Но теперь мы приписываем веса
W (Н) = 0, Г(?) = 1, W(F) = -l, W(Q = 2 (5.201с)
Н, Е, F и градуирующему параметру ?.
Как связаны две градуировки? Рассмотрим отображение,
- оо
действующее на элемент общего вида X (?) = ? (h/H -f esE -f
