Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
с = 0.
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 297
После этих вычислений выпишем уравнение Лакса
Qtk = fQ(ft), Q), (5.246)
f ?*l'(Qo + -?L+ ... +%)> b>0,
QW=-{ VS S / (5.247)
I Sft(Q-i + SQ-2+ ... +r4_1Qft)> k<Q
и
Q = lim (5.248)
/-><" ?
Если мы возьмем /-"- + oo в (5.248), мы получим знакомый эле-
мент
Q==2tT> Qo = -^( (5.249)
о ^
т. е. элемент общего вида фазового пространства N* = К1 (в первой
гамильтоновой структуре) или -iH + KL (во второй гамильтоновой
структуре). С другой стороны, при j->-оо мы имеем
Q = Е Q-i-/?y. (5.250)
о
что является элементом общего вида в К* - N1 во второй гамильтоновой
структуре.
Теперь вспомним, что уравнения Лакса формально решаются с помощью
где
с асимптотикой
= f -1 (M>2 + Ф1Ф2) 2мМ>, \ ^5251^
V - 2гф2ф2 i (ф^г + ф^г) ) '
v( Ф| '('Л (5.252а)
\ф2 ф2/
V ~ ехр I ? (5.252Ь)
при %-*-оо. (Обратите внимание, что суммирование в экспоненте включает
отрицательные степени и времена.) Теперь относительно легко понять, что
асимптотическое разложение (5.251) вблизи ? = оо - это в точности
(5.249).
Ю А- Ньк 1 я
298 Глава 5
Упражнения 5к
1. Покажите, что
д
дх
~2я\ dyr
X
оо
2 г ^ dyr ¦
д
дх
-2 я \ dyq-
X
00
+ 2 г ^ dyq
(5.253)
тогда для е = 2м|)1'ф1, / =-2ty2ty2 (напоминаю, что е\
h = г)
№-о(л)-(_,,)¦
(5.254) О могут
(5.255)
(5.256)
Далее, мы знаем из [23], что потоки (5.246) при k быть записаны в виде
(h\n=s~2iLa(-fl)'
Но из (5.254)
Но из (5.55) мы знаем, что eitn = - 2ien+b flti =2ifn+l, и, таким
образом, правые части -это в точности ей/, определенные в разд. 5с.
Величина Л =-гЧ'Фх'Фг + "Ф^г) задается Л2 + + е/=-1 в точном согласии с
разд. 5с. Поэтому асимптотическое разложение (5.251) - это знакомое
выражение Q =
оо
= I QrCr¦
О
Далее, разложим матрицу Q, заданную с помощью (5.251),
оо
вблизи ? = 0. Мы получаем ? Q-i-it1* а частные суммы, помно-
0
женные на - это матрицы Qm в (5.233).
Как все это связано с тем, что мы делали в последнем разделе? Вспомним,
что положительные потоки возникли при редукции простых потоков
И- = О" S = (5.257)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
299
на T*G сначала с помощью симметрий К в редукции Марсдена - Вейнстейна к
IV Х(-iH%-\-KL) и затем с помощью тривиальной пуассоновой редукции к -
iHt, + Кх. На редуцированном фазовом пространстве поток был задан
формулой (5.210)
Q (/,) = *(//) (- iH) k~x (tj),
и я показал вам, что матрица k(tj)-это левый множитель V в
асимптотическом разложении V вблизи ? = оо, т. е.
V ~ V ехр (- t ? . (5.258)
Она была также матрицей, обратной к левому множителю, при факторизации
g - ехр i Z tty*) g0 = k~ln.
Предположим теперь, что вместо факторизации G в виде KN(g = k~ln) мы
факторизуем G в виде NK(g = n lk). Тогда точно тем же способом, как и в
разд. 5j, мы найдем, что элемент Q на редуцированном фазовом пространстве
-iH + Nx задается формулой
Q (/,) = Ad;_. (- IH) = п(- iH) п-\ (5.259)
где n(tj) - это левый множитель в разложении V вблизи ? = 0. Правый
множитель - это exp^- i 2 он коммутирует с
- iH.
Поэтому потоки положительных времен tk находятся редуцированием большого
фазового пространства T*G с помощью левого действия симметрий К (редукция
Марсдена -Вейнстейна), за которым следует тривиальная пуассонова редукция
в результате правого действия симметрий N. Потоки отрицательных времен tk
находятся с помощью дуальной процедуры, т. е. с помощью факторизации G =
NK.
Замечание. Я хочу подчеркнуть, что при отождествлении k(tj) с V(tj) мы
имеем в виду, что в качестве V берется левый множитель в формальном
асимптотическом разложении V
оо
вблизи ^ = оо, а не сама функция V (tt, ?) = V (tjy ?) ехр i X Vt/H.
- ОО
Аналогично, обратный левый множитель в двойственной факторизации n(tj)
отождествляется с формальным разложением V вблизи ? = 0. Так как ? = 0
становится нерегулярной особой
10*
300 Г лава 5
точкой при включении отрицательных потоков, то это разложение не
обязательно равномерно пригодно во всех секторах окрестности точки 5 = 0-
Если бы нам была известна полная аналитическая структура 9 как функции 5"
то мы могли бы связать k с п с помощью функции Р. Но с алгебраической
точки зрения мы ее не знаем и должны считать асимптотические разложения V
вблизи ? = °ои? = 0не связанными между собой; krl - это просто левый
множитель элемента g = e~mHgo, если g факторизуется в виде kr'n', и п -
это его левый множитель, если g факторизуется как n~xk'. Я использую
штрихи у правых множителей, чтобы подчеркнуть, что n(k) в последней
(первой) факторизации - это не правый множитель ti'(k') в первой
(последней) факторизации. Тем не менее интерпретация k и п в терминах Р
как функции ? все же полезна.
Мы теперь используем прямой метод, чтобы показать, что два набора
потоков, относящихся к положительным и отрицательным временам,
коммутируют между собой.
Рассмотрим разложение
G = K + N, (5.260а)
G*^G = A:J- + MJ-, (5.260b)
оо оо
где Q - 2 QrZ~r е Xх и Q=YiQ-?r ^ а внутреннее про-0 1
