Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
AtrIAte = KI1Ke = 1 + 2. (29.24)
Светимость L, измеренная на источнике, есть сумма энергий •#исп. j индивидуальных фотонов (характеризуемых индексом J), испущенных в интервале времени Ate, деленная на Ate:
L= (HAte)^i Eacn.,j. (29.25)
j
Мощность, которая пересекает 2-сферу позже в момент U — te, измеренная на 2-сфере наблюдателем, покоящимся относительно жидкости, равна
P = (l/At )2 EnViiH., j, (29.26)
j
где суммирование проводится по тому же самому набору фотонов.
Комбинируя равенства (29.23)—(29.26), мы находим мощность, проходящую через 2-сферу
P = Ltd + zf,
Через фотопластинку проходит часть этой мощности
р __________AL__________
А * ~ 4я((1 z) a (Zr) 2 (Xr)]2 ’
поэтому измеренный на Земле поток равен
4я (29-27)
где R — «радиус кривизны» 2-сферы, окружающей излучатель
и проходящей через приемник в момент приема:
{а0 sh (%г — у>в). если As= —1,
МХг —Xe)) если A = O, (29.28)
а0 sin (Xr — Xe)» если A= +1
[напомним, что, согласно принятым соглашениям, Xe = О и °о — = а (/г)]. Соответствующая видимая величина [выражение (29.20)] имеет вид
Гт = + 5 Ig [(I + z) R] — 2,5 Ig L + const. (29.29)
Чтобы связать видимую величину с красным смещением излу-
чателя, необходимо выразить величину R через z. Из уравнения (29.7), описывающего распространение фотона (с обратным знаком, поскольку приемник и излучатель поменялись местами),
2
464 25. Современное состояние и будущая эволюция Вселенной
известно, что
tr а(!г)/а(?«)
j шЕя-трмо»
<« і
а из выражения (29.11) следует
z — a {tT)!a (te) — 1.
Таким образом,
<293,)
і
Уравнения (4)-(6) дополнения 29.1 и уравнение (27.40) позволяют выразить функцию dtfda через а/а (*г) и постоянные H0, Qo, о0. Подставляя этот результат в уравнение (29.31) и интегрируя, получаем Xr — Xe как функцию красного смещения z и космологических параметров H0, q0, а0:
1 +г
Xr-Xe = I 1 + go—3ao|l/" j
du
[2ff0u3+(l+?o—Зо0) U2-J-O0—90Г
(29.32а)
Радиус кривизны 2-сферы R находится путем подстановки этого выражения в равенство
R =
|1 + 9о-30о|1/*
(29.326)
[формула (29.28) с а0, вычисленным из уравнения (5) дополнения 29.1].
Выражения (29.29) и (29.32) определяют видимую величину т, как функцию красного смещения z.
В отсутствие космологической постоянной (<j0 = q0', A = 0) интеграл (29.32а) можно выразить через элементарные функции; в результате имеем
Д=іїТ&3*[-до+і+до2+(?о-і) (2^+1)1'2]
* H?z [I -I(1 + g0) z + 0(*)],
(29.33)
так что
Результат: соотношение величина — красное смещение
т = 5 Ig [1 — д0 + ,до* 4* (д0 — I) (2goZ + 1)х/*1 —
—2,5 Ig L + const 5 Ig z-{- 1,086 (1 — д0) z 4-
+ О (z*) — 2,5 Ig L 4- const для z < I. (29.34)
(Замечание: Коэффициент 1,086 в действительности равен
2,5/1п 10.) В случае ненулевого Л (для д0 Ф о0) решение в виде
§ 29.4. Соотношение величина — красное смещение 465
2
степенного ряда обнаруживает зависимость от а0 только в членах О (z2) и более высокого порядка:
іг«я;12[і-і-(і + ?0)2 +
-f-(поправки 0(zz), зависящие от а0 и ?<>)]. (29.35а)
т « 5 Ig z + 1,086 (I — q0) z jT О (za) — 2,5 Ig L Ar const.
(29.356)
Шелдон [460] приводит точное решение для Л Ф 0, выраженное через эллиптические функции Вейерштрасса. Точное решение в виде таблиц и графиков сы. в работе [461].
Сравнивая теоретическое соотношение величина — красное смещение, (29.35а), с наблюдениями ярчайших галактик в 82 скоплениях, Аллан Сэндейдж [358, 462, 463] получает следующее значение параметра замедления:
7о = IiO ± 0,5, если O0 = q0 (т. е. Л = 0). (29.36)
(Замечание: 0,5 — это неопределенность в «одну-сигму». Сэндейдж оценивает с 68%-ной достоверностью, что 0,5 < q0 < 1,5, и с 95%-ной достоверностью, что 0 < qa < 2, — в пренебрежении неизвестными эффектами эволюции.) Наблюдения, ведущие к этому результату и неопределенности, вызванные эффектами эволюции, описаны в дополнении 29.4. В дополнении 29.5 кратко рассказано об Эдвине Хаббле, который заложил основы таких космологических измерений.
29.4. Вывод соотношения ш (я) из статистической физики
Выведите соотношение величина — красное смещение, используя статистическое описание распределения фотонов [ср. уравнение (22.49) и связанное с ним обсуждение].
29.5. Сопоставление допплеровского сдвига и космологического красного смещения
а. Рассмотрим в плоском пространстве-времени галактику, движущуюся по направлению от Земли со скоростью v и испускающую свет, который принимается на Земле. Пусть расстояние между Землей и галактикой, измеренное в некоторый определенный момент испускания в связанной с Землей лоренцевой системой отсчета, равно г и пусть допплеровский сдвиг принимаемого в конечном итоге излучения равен z = А К/к. Покажите, что поток энергии S, принимаемый на Земле, связан с собственной светимостью галактики L соотношением
Измерение параметра замедления q
УПРАЖНЕНИЯ
30-01508
4лг2 (I +z)1
(29.37)
2
466 29. Современное состояние и будущая эволюция Вселенной
