Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
«ли —1). Однако из дальнейшего обсуждения, данного в тексте, видно, что
для этого простого результата замкнутости не требуется.
Космологический линейный элемент
ds* = —ей* + a2 (t) [d%2 + S2 (d02 + sin2 Bcty2)] -
— а2 (ц) [—чіт]2 + d%2 + S2 (ей)2 + sin2 §<1фг)]Л (29.4а)
{sin х, если к = —h 1,
X, если к = 0, (29.46)
sh х» если к = —1,
456 29. Современное состояние и будущая эволюция Вселенной
сферически симметричен относительно X = O (т- е- относительно Земли) независимо от того, равно ли к -—1, 0 или +1. Следовательно, все геодезические (мировые линии фотонов), которые проходят как через Землю, так и через излучающую галактику, должны быть радиальными
0 Ц0е, ф = фе, х = X (0- (29.5)
(Тот, кто хочет воздержаться от любого обращения к симметрии, может исследовать уравнение геодезических в системе координат (t, Xi в, Ф) и обнаружить, что если dQIdh = йфііїк = 0, то и (PQId1Ki = ^ф/dk2 = 0. Следовательно, первоначально радиальная геодезическая будет всегда оставаться радиальной.)
Рассмотрим теперь испускание. Покоящаяся в точке (Xe, 0е> Фе) галактика (движущаяся с «космологической жидкостью») испускает по направлению к Земле в координатные времена tAt и tBe два последовательных гребня А и В волнового луча. Условлено, что собственное время, измеренное на галактике, совпадает с координатным временем (t = т + const в § 27.4 использовалось при построении системы координат). Следовательно, период излучения, фиксируемый излучателем, равен Pllcn *= teв — teA, а длина волны при использовании геометризованных единиц совпадает с периодом
^¦ИСП = ^eB -- ^eA- (29.6)
Далее рассмотрим распространение. Волновые гребни AnB распространяются по нулевым геодезическим. Этот факт дает возможность найти мировые линии волновых гребней Xa (0 и Xb (*) непосредственно из линейного элемента (29.4): ds2 = 0 означает, что a (t) d% = —dt («—», а не «+», так как свет распространяется по направлению к Земле, расположенной в % = 0). Следовательно, мировые линии имеют вид
4
Xe — Xa (* или т)) = г] — т]еА= j a1 dt,
'е* (29.7)
Xe-XsU или т]) = Г) — г]ев = j CTi dt.
1еВ
В заключение рассмотрим прием. Приемник на Земле, как и удаленный излучатель, движется с «космологической жидкостью». («Пекулярным движением» Земли относительно жидкости, т. е. движением Земли вокруг Солнца, движением вокруг центра нашей Галактики и т. д. пренебрегаем; его можно учесть посредством обычной допплеровской поправки.) Поэтому для приемника, как и для излучателя, собственное время совпадает с координатным и
^прив — tгй —tirAi
(29.8)
§ 29,2, Космологическое красное смещение 457
где trB и tTA — времена приема последовательных волновых гребней.
Для получения красного смещения теперь достаточно скомбинировать равенства (29.6)—(29,8). Приемник расположен в х — = 0. Поэтому уравнения (29.7) гласят:
*гА
*еА
iTB
О — %е — \ CL 1 Л.
1еВ
Вычитая эти уравнения друг из друга
iTB tTA
0= f QTi dt— [ CTi dt =
1PB iCA
iTB *еВ
f [аГх dt—
*гА *еЛ
a (tr) л (te)
и комбинируя с равенствами (29.6) и (29.8), находим
^ирин ^исн
a (tr) a (t€) 9
Т. Є.
(29.9)
(29.10)
z = ДХ/Х = a (tr)/a (t€) — I. (29.11)
Эти формулы для красного смещения подтверждают простой результат, представленный на фиг. 29.1. При распространении светового луча его длина волны (измеренная наблюдателями, движущимися с «жидкостью») увеличивается прямо пропорционально линейному расширению Вселенной. Отношение длины волны к коэффициенту расширения Xla остается постоянным. Важные приложения этого результата см. в дополнениях 29.2 и 29.3.
29.2. Другой вывод формулы для красного смещения Заметим, что для светового луча линейный элемент имеет вид
<кг = —dt2 + a2 (t) d%\
поскольку вдоль его мировой линии dQ = d<j> = 0 (сферическая симметрияі). Считая световой луч состоящим из фотонов с 4-импульсом р, покажите из уравнения геодезических (или, для читателя, изучившего гл. 25, на основании аргументов, связанных
УПРАЖНЕНИЯ
458 2^* Современное состояние и будущая рволюция Вселенной
УПРАЖНЕНИЯ с векторами Киллинга), что
Px эр.(й/&)
сохраняется вдоль мировой линии фотона. Используя этот факт и то, что 4-импульс фотона равен нулю, р-р = О, а также выражение E= —р -и для энергии, измеренной наблюдателем, движущимся с 4-скоростью и, выведите формулу (29.11) для красного смещения.
29.3. Красное смещение дебройлевской длины волны частицы
Частица конечной массы покоя |Х движется вдоль геодезической мировой линии в расширяющейся космологической жидкости. Пусть
— пространственный 4-импульс частицы, измеренный наблюдателями, покоящимися в жидкости. (Обычная скорость, которую они измеряют в своих собственных системах отсчета, равна V.) Соответствующая «длина волны де-Бройля» частицы равна Я ^hlp.
а. Покажите, что эта длина волны де-Бройля испытывает такое же красное смещение, что и длина волны фотона
б. Воспользовавшись этим результатом, покажите, что средняя кинетическая энергия молекул идеального газа, заполняющего Вселенную, уменьшается обратно пропорционально а2 в случае нерелятивистского газа и (подобно энергиям фотона) обратно пропорционально а для ультрарелятивистского газа.
