Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
^a{tr)[i + H0(t-tr)-^q0Hl(t-tTr+ ...], (29.13)
где использованы определения (29.1) для постоянной Хаббла H0 и параметра замедления q0. Подставляя это разложение в равенство (29.12') и интегрируя, находим следующее выражение для расстояния:
4 = (tT — te) + \H0{tr — fe)2 + ...,
или, эквивалентно,
tT — te. = Hofii ¦+¦ .
(29.14)
§ 29.3. Соотношение расстояние — красное смещение 461
2
Используя разложение (29.13), можно выразить красное смещение [формула (29.11)] в виде ряда по tT — te
> а (tr) Г Ho (Ir ^e) "o' ЯсА:> Ur О* ¦ ¦ ¦ I
__ g (^r) g (^e) _ ___\-______________________________——
a (te) a (tr) [I H0 (?r te) . . .]
=--Я0(їг-*,) + Я’(Ц- jqo) (tr-t.)*+... . (29.15)
Комбинируя это с равенством (29.14) для tr — ts как функции окончательно получаем
z = #„/ + 1(1 + Чо) [Ho-ef + О [[HM3). (29.16)
Это и есть «соотношение расстояние — красное смещение» для стандартной модели большого взрыва Вселенной.
Сравнивая это соотношение расстояние — красное смещение с астрономическими наблюдениями (см. дополнение 29.4, которое лучше всего прочесть после следующего параграфа), Аллан Сэн-дейдж [358] получает следующее значение для постоянной Хаббла:
H0 = 55 ± 7 км/(с -Мпс), (29.17)
т. е.
Щ1 = (18 ± 2) -IO9 лет. (29.18)
(Замечание: I Mnc =один мегапарсек = 3,26-106 св. лет, или 3,08-IO24 см.) Указанная здесь неопределенность ±7 км/(с -Мне) — это статистическая неопределенность «одпа-сигма», связанная с данными по соотношению расстояние — красное смещение. Непонятые на сегодня систематические ошибки могут быть до некоторой степени больше; однако истинное значение Hn почти определенно, с точностью до коэффициента порядка 2, совпадает со значением Hn1 = 55 км/(с -Мне), приводимым Сэндейджом.
Заметим, что если Л = 0, то «критическая плотность», разделяющая «закрытую» Вселенную и «открытую» Вселенную, т. е. возможный переход к сжатию и вечное расширение, равна
Pkpiit = -Jr#2 - 5 ¦ IO-30 г/см3. (29.19)
(Как описано в дополнении 29.1, р > Phikit«закрытая» модель повторное сжатие; р < ркрит «открытая» модель -«-> вечное расширение.) Сравнение с действительной плотностью будет отложено до § 29.6.
Измерения расстояния недостаточно точны, чтобы дать полезную информацию о параметре замедления дп.
Результат: соотношение расстояние — красное смещение
Измерение постоянной Хаббла H
Значение
критической
плотности
2
Определение
видимой
величины
Вывод
соотношения величина — красное смешение
462 29, Современное состояние и будущая эволюция Вселенной
§ 29.4. СООТНОШЕНИЕ ВЕЛИЧИНА — КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ; ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРА ЗАМЕДЛЕНИЯ
Информацию о q0 лучше всего получить, сравнивая видимые величины галактик с их красными смещениями.
В астрономии видимая (болометрическая) величина т объекта определяется формулой
т = —2,5 Ig (5/2,52-IO-5 эрг/(см2 с) =
= -2,5 Ig S + const, (29.20)
где S — поток энергии (энергия в единицу времени на единицу площади), приходящий от объекта на Землю. [Конечно, невозможно измерить поток во всем интервале длин волн 0 < К < оо, поэтому выделяют различные видимые величины (mv, тв, mv, . . .), соответствующие потокам в различных интервалах длин волн («U» s «ультрафиолет», «В» = «голубая» часть спектра, «F» s s визуальная часть спектра). Однако эти тонкости слишком далеки от гравитационной физики, чтобы рассматривать их здесь.]
Вычислим видимую величину для галактики, обладающей собственной светимостью L и красным смещением z. Для упрощения расчетов поместим излучатель в начало пространственных координат (хе = 0), а Землю — в точку (%Т, 0Г, фг). (Заметим, что эти положения обратны по сравнению с теми, которые были использованы в § 29.2 при вычислении красного смещения.) Поместим на Земле перпендикулярно падающему лучу фотопластинку площадью А. Тогда в момент времени tr пластинка выделяет крошечный сегмент сферической двумерной поверхности (t = tr, X = Xri 0 и ф меняются), проведенной вокруг галактики. Полная площадь 2-сферы, окружающей галактику, равна
Jt = 4л [a (tT) 2 (Xr)Ia- (29.21)
Поэтому отношение площади пластинки к площади 2-сферы составляет
А А
Л An [a (tr) X (Xr)]2*
(29.22)
Пластинка захватывает долю AU, энергии, проходящей через 2-сферу.
Если бы красное смещение отсутствовало, то мощность, проходящая в момент tr через всю 2-сферу, была бы точно равна светимости излучателя в момент te. Однако красное смещение видоизменяет результат в двух пунктах.
1. Энергия каждого фотона, который пересекает 2-сферу, измеренная там в локально лоренцевой системе отсчета жидкости, меньше энергии этого же фотона, измеренной излучателем
^прин/^исп ---- Яисп/Ядрил — 1/(1 “f- z).
(29.23)
fj 29.4. Соотношение величина — красное смещение 463
2. Два фотона с одинаковыми 0 и ф, которые разделены временем Atr, измеренным наблюдателем, стационарным относительно «космологической жидкости» на 2-сфере, с точки зрения наблюдателя, расположенного на излучателе, были разделены более коротким временем A te
