Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
скорость возрастает всегда вместе с плотностью. Чтобы определить значения
си и р для любой заданной фигуры, т. е. для данных отношений осей (см.
таблицу), необходимо выбрать определённую единицу плотности, поскольку р
не остаётся постоянной
86
Глава IV
вдоль ряда. Для этого удобно выбрать то значение, которое соответствует
общей фигуре для рядов Маклорена и Якоби, и выбрать единицу момента
вращения таким образом, что постоянное значение Н будет 0,3035. Далее
можно условиться, что за единицу длины будет выбран радиус эквивалентной
критическому сфероиду сферы с той же самой плотностью.
Поскольку размерность Н совпадает с размерностью \ДДМ3/2л/г, то для любой
другой конфигурации при данных отношениях осей величина её сферического
радиуса г должна быть обратно пропорциональна квадрату табулированного
углового момента. Следовательно, плотность должна быть пропорциональна
шестой степени данной величины. Итак, чтобы рассматривать конкретные
примеры, для фигуры бифуркации имеем
а : Ъ : с = 1,197 : 1,197 : 0,698, = 0,1871, Н = 0,3035,
zttG
а отсюда для критической фигуры Якоби, у которой а : Ъ : с = 1,886 :
0,815 : 0,651 и Н(табличное) = 0,3896, будет
йг = 0,142 х (siS)'= °'636' <ff = <w
Аналогично для последнего табличного члена ряда Якоби, у которого а : Ь :
с = 3,129 : 0,588 : 0,543 и Н(табличное) = 0,639, имеем
, ,2 / 0 639 \ 6
&=0'066 ДоЫ =5-75' <д="оз5>'
В случае однородной плотности и> убывает до нуля при возрастании углового
момента до бесконечности, а кинетическая энергия движения имеет
максимальное значение, после которого уменьшается до нуля для фигуры
бесконечной длины. Поскольку кинетическая энергия должна также быть
нулевой при бесконечной плотности предельной фигуры
Сфероидальные и эллипсоидальные формы 87
(когда в качестве параметра используется плотность), то для некоторой
плотности между 0 и ос эта энергия снова должна достичь максимального
значения1. Впервые эти результаты, как представляется, были получены
Дарвином.
1 Автор нечётко отражает суть дела. На самом деле энергия вращения имеет
только один максимум на последовательности Якоби. - Прим. ред.
Глава V
Эллипсоидальный гармонический анализ
В данной главе мы рассмотрим элементы эллипсоидального гармонического
анализа, необходимые для последующего. Элементарные свойства сферических
гармоник, предполагаем, читателю известны.
1. Софокусные координаты
Рассмотрим семейство квадратичных форм, представленное в прямоугольных
декартовых координатах х, у, z следующим уравнением:
х2 , у2 , д2 (1)
а2 + в Ь2+в с2 + в
где в - переменный параметр и предполагается, что а > Ъ > с. У них есть
простое свойство: через любую точку пространства проходят три разных
поверхности этого семейства. Если х, у, z постоянны, то это уравнение
можно рассматривать как кубическое по в, и корни его являются параметрами
трёх этих поверхностей. Данное уравнение можно записать в следующем виде:
ф{в) = (а2 + 0){Ъ2 + в){с2 + в) - х2{Ь2 + в){с2 + в)-- у2{с2 + в)(а2 + в)
- z2(a2 + 9){Ъ2 + в) = 0.
Для локализации корней следует учесть, что /(-а2) отрицательно, /(-Ъ2)
положительно, /(-с2) отрицательно, а /(+оо) положительно. Следовательно,
корни этого кубического уравнения являются вещественными и различными.
Если обозначить их через Л, д, v, тогда при условии, что Л > у > v,
Л > -с2 > у > -Ь2 > v > -а2. (3)
Отсюда следует, что поверхности Л = const являются эллипсоидами,
поверхности д = const - однополостными гиперболоидами, а поверхности v =
const - двуполостными гиперболоидами. Легко видеть, что
Эллипсоидальный гармонический анализ
89
данные три семейства поверхностей всегда являются взаимно ортго-
нальными1.
Из свойств симметрии вытекает, что три поверхности
Л = const, ц = const, v = const
будут пересекаться в восьми точках, по одной в каждом октанте,
определяемом координатными плоскостями. Координаты этих точек можно
записать как (±ж, ±у, ±z). Для исследования свойств поверхностей
достаточно будет рассмотреть только положительный октант.
Вернёмся к исходному уравнению (1). Если Л, /г, v являются параметрами
трёх данных поверхностей, проходящих через точку (ж, у, z), то мы имеем
тождество
У
12 + в Ь2 + в
¦в
(а2+ в)(Ъ2+ в)(?+ в)' {>
Умножая обе его части на а2 + 0 и подставляя в = -а2 (и действуя
аналогично в двух оставшихся случаях), получим следующие выражения для
прямоугольных координат (х, у, z) через ортогональные криволинейные
координаты (Л, ц, и):
2 (Л + a2)(/j, + а2) {и + а2)
(а - Ъ2)(а - (?)
2 (Л + &2)(у + Ь2)(ы + Ъ2) у = -
z2 =
(а2 - Ъ2){Ъ2 - ?) (Л + с2)(д + ?){v + с2) (а2 -?){Ъ2 -?)
(5)
Прямым сложением этих выражений или, что ещё проще, рассмотрев сумму
корней f(0) = 0, находим
2 2,2,2 \, I , 2 , 7 2 , 2
т - х ~\~ у z - Л Ц I? CL ~\~ Ь с .
(6)
Поскольку для данных конечных значений а, 6, с величины д и и всегда
лежат в пределах границ (3), то очевидно, что на большом рас-
1 Точнее, поверхности трёх данных семейств должны быть ортогональными. -
