Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
результирующая поверхность (при Н < Нс) должна иметь вид, как показано на
рис. 13. Поскольку /(0, 0) = +оо и /(оо, оо) = -0, критическая точка М в
плоскости а = Ъ соответствует отрицательному значению / и должна быть
абсолютным минимумом по отношению ко всем изменениям на поверхности, так
как в противном случае на плоскости существовали бы и другие критические
точки. Соответственно сфероиды Маклорена при Н < Нс обладают вековой
устойчивостью при тех типах смещений, которые мы допустили.
Случай (II). Если Н > 0,304л/GM3/2,//, то из таблиц I и II видно, что
существуют три критических значения /, одно из которых всегда
соответствует сфероиду и поэтому находится в плоскости а = Ъ. Два других
соответствуют эквивалентным эллипсоидам Якоби, у которых а и b меняются
местами, поэтому они расположены симметрично по отношению к плоскости а =
Ъ. Обозначим эти две критические точки через Ji и J2. Плоскость,
проходящая через Д и вертикальную ось пересекает поверхность по некоторой
кривой, ордината которой есть +оо
84
Глава IV
при в = 6 = 0 и - О на бесконечном круге а2 + Ъ2 = оо, / = 0.
Следовательно, критическое значение в J\ является отрицательным и
конечным, а точки J\ и Ji должны быть такими, где / - абсолютный минимум.
Точка М может быть названа минимаксом, поскольку она является минимумом
при смещениях в плоскости а = Ь и максимумом при поперечных к ней
смещениях. Это расположение критических точек единственным образом
согласуется с существованием трёх и только трёх стационарных точек на
данной поверхности.
Отсюда можно сделать вывод, что для е < 0,8127 сфероиды Маклорена
обладают вековой устойчивостью относительно эллипсоидальных смещений
данного типа, хотя это отнюдь не позволяет нам ещё предположить, что они
устойчивы при общих деформациях. С другой стороны, вековая неустойчивость
сфероидов при е > 0,8127, как было установлено в вышеописанном
доказательстве, означает, что вне этого предела их можно считать
физически неустойчивыми. Это означает, что они не могли бы появиться в
результате эволюционного процесса при возрастании углового момента. Позже
будет показано, что сфероиды обладают вековой устойчивостью при всех
смещениях, если е < 0,8127.
Что касается обыкновенной устойчивости относительно эллипсоидальных
колебаний данного типа, то сфероиды обладают ею при е < 0,8127, но при
больших значениях е для обыкновенной устойчивости из данного исследования
нельзя сделать никаких выводов. Тем не менее, Картан показал, что
сфероиды сохраняют обыкновенную устойчивость при всех смещениях, если е <
0,9529.1 Но с физической точки зрения за пределами вековой устойчивости
сфероиды интереса не представляют.
Для фигур Якоби было доказано, что они всегда устойчивы при данных
ограниченных эллипсоидальных деформациях, но из этого факта нельзя
сделать какие-либо выводы касательно их устойчивости (или неустойчивости)
при общих смещениях. В последствии будет доказано, что формы Якоби
остаются устойчивыми относительно любых смещений вплоть до конфигурации,
для которой
а : Ь : с : (аЬс)1/3 = 1,8858 : 0,8150 : 0,6507 : 1
и Я = 0,3896\/СА73/2лЛ.
1 Первыми это важное свойство сфероидов Маклорена доказали Риман и А. М.
Ляпунов. - Прим. ред.
Сфероидальные и эллипсоидальные формы
85
Но деформация, через которую впервые проявляется неустойчивость,
обнаруживается только тогда, когда смещение анализируется в общем виде с
применением эллипсоидальных гармонических функций.
9. Эволюция вдоль линейного ряда
В предыдущем обсуждении угловой момент обычно принимался в качестве
постепенно изменяющегося параметра, в то время как плотность массы
оставалась постоянной. Однако можно показать, что последовательность
полученных конфигураций остаётся абсолютно такой же (как и все
соотношения), если плотность постепенно возрастает, а угловой момент
остаётся неизменным. Поскольку полная масса и угловой момент равны
М = ^тграЬс, Н = ^М(а2 + Ь2)си,
О о
то чтобы пояснить сделанное выше утверждение, составим комбинацию
Теперь предположим, что полная масса М, угловая скорость си и отношения
осей фиксированы, тогда значение правой части этого соотношения также
будет фиксированным. Очевидно, оно удовлетворяется при любом заданном р
за счёт соответствующего подбора Н, или при любом фиксированном Н за счёт
подбора р. Отсюда следует, что линейный ряд, данный в таблицах I и II,
который получался ранее за счёт увеличения Н, точно также может быть
получен путём увеличения р, когда Н остаётся постоянной. Поскольку,
однако, если р остаётся постоянной, мы всегда можем принять abc = 1, то
далее удобно считать всё же, что возрастает Н при постоянной плотности.
Когда угловой момент остаётся постоянным, начальный сферический член ряда
Маклорена будет соответствовать нулевой угловой скорости, нулевой
плотности и бесконечному радиусу, в то время как члены на концах
последовательности Маклорена и Якоби будут иметь бесконечно большую
плотность. Из таблиц I и II легко видеть, что при постоянном Н угловая
