Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
0,1 1,0016 0, 9967 0,0027 0,0255 -0, 6000 0, 0008
0,2 1,0068 0, 9865 0,0107 0, 0514 -0, 6000 0, 0033
0,3 1,0159 0,9691 0,0243 0, 0787 -0,5999 0, 0075
0,4 1,0295 0, 9435 0,0436 0,1085 -0,5997 0,0139
0,5 1,0491 0, 9086 0,0690 0,1417 -0, 5989 0,0228
0,6 1,0772 0,8618 0,1007 0,1804 -0, 5974 0,0351
0,7 1,1188 0, 7990 0,1387 0, 2283 -0,5941 0,0521
0,8 1,1856 0, 7114 0,1816 0, 2934 -0,5866 0, 0766
0,8127 1,1973 0, 6976 0,1868 0, 3035 -0,5850 0,
0805
0,9 1,3189 0, 5749 0, 2203 0,4000 -0,5660 0,1150
0,91 1,3411 0,5560 0,2225 0,4156 -0,5621 0,1200
0,92 1,3664 0,5355 0, 2241 0,4330 -0,5575 0,1253
0, 9299 1,3957 0,5134 0, 2247 0,4524 -0,5520
0,1313
0,93 1,3960 0,5131 0, 2247 0,4525 -0,5520 0,1314
0,94 1,4311 0, 4883 0, 2239 0,4748 -0,5453 0,1376
0,95 1,4740 0, 4603 0,2213 0, 5008 -0, 5370 0,1442
0,9529 1,4884 0,4514 0,2201 0, 5092 -0, 5342
0,1463
0,96 1,5286 0, 4280 0,2160 0,5319 -0,5262 0,1515
0,97 1,6023 0, 3895 0, 2063 0, 5692 -0,5116 0,1588
0,98 1,7128 0, 3409 0,1890 0, 6249 -0, 4898 0,1664
0,99 1,9210 0,2710 0,1551 0,7121 -0, 4509 0,1717
0,9912 1,9622 0, 2597 0,1448 0, 7277 -0, 4436
0,1719
1,0 ос 0,0 0,0 оо 0,0 0,0
Эта таблица основана на расчётах Лэмба (Lamb), Томсона (Thomson) и Тета
(Tait), но значения V и Т, а также все значения, относящиеся к трем
сфероидам с эксцентриситетами 0,9299, 0,9529 и 0,9912, были вычислены
самим автором. Первый сфероид является фигурой с максимальной угловой
скоростью, второй представляет собой фигуру, у которой исчезает
обыкновенная устойчивость, а последний обладает максимальной кинетической
энергией.
(V) С ростом е потенциальная энергия монотонно возрастает от -0,6 для
сферической формы до 0 у бесконечного диска, который является предельной
формой при е = 1.
(VI) Кинетическая энергия начинается от нуля для сферы и возрастает до
максимального значения 0,1719 при е = 0,9912, затем убывает до нуля у
бесконечного диска.
72
Глава IV
4. Эллипсоиды Якоби
Для того чтобы показать существование эллипсоидальных форм равновесия с
тремя неравными осями, вернемся ко второму способу, которым можно
удовлетворить условию (16)
оо
а2Ъ2 с2 ) d\ _ q
(а2 + Л)(62 + Л) (c2 + A)J А "
Поскольку Д2 = (а2 + А)(Ь2 + А)(с2 + А), то это условие можно записать в
виде
СЮ
j{a2b2-(а2+ Ъ2+ \)с2}^ =0. (20)
о
Если в это уравнение подставить ва вместо а, вЪ вместо Ь, вс вместо с и
в2\ вместо А, где в - произвольная постоянная, то оно не изменится. Таким
образом, это уравнение определяет только отношения а : b : с.
Например, величина отношения а : b даёт и а : с; поэтому
а и b
единственным образом определяют с. Очевидно, любые кратные значения ва,
вЬ, вс величин а, Ь, с также удовлетворяют этому отношению. Поэтому
всегда можно выбрать такую единицу длины, при которой произведение осей
эллипсоида abc = 1.
Легко показать, что при любом отношении а : b всегда существует решение
уравнения (20). Действительно, при с2 = 0 интеграл заведомо
2т2
положителен, в то время как при с = он становится отрица-
а + Ъ
тельным. Поскольку второе значение с2 обязательно меньше а2 и Ъ2, то из
условия непрерывности следует, что значение корня должно быть меньше
наименьшего из них. Следовательно, всегда есть значение с, меньшее а и Ь,
удовлетворяющее данному уравнению. Таким образом, для данного отношения
о, : b существует не только соответствующее значение с, но, согласно
(15), ещё и вещественная величина и.
Угловую скорость из условия (14) можно записать в следующем виде: оо
= аЬС1 (а2 + А)(Ь2 + А) ' (21)
так что, как и для сфероидов, безразмерная величина ^ ^зависит
zirGp
только от отношения осей, а не от длин последних.
Сфероидальные и эллипсоидальные формы
73
Угловой момент Н системы можно выразить в безразмерной форме
Н2 = _3_ . _иР_ . (о2 + Ь2)2 (
GM3r 50 2irGp abcr
Потенциальная энергия V задаётся формулой (5), кинетическая же энергия
^М{а2 + Ь2)со2, выраженная в тех же единицах, что и для сфероидов, при
abc = 1 приобретает следующий вид:
(23)
Для трёхосных эллипсоидов используемые интегралы нельзя выразить через
элементарные функции. Как показал Дарвин, их можно выразить посредством
эллиптических интегралов в форме Лежандра. Поэтому численные расчёты для
эллипсоидов оказываются гораздо более громоздкими, чем для сфероидов.
Такими расчётами занимался Дарвин, однако отдельные значения до него
получил ещё Плана (Plana), хотя некоторые из них Дарвин считал
ошибочными. Таблица II, впервые составленная Дарвином, даёт ряд значений
для эллипсоидальных конфигураций, начиная со сфероидального члена ряда
Якоби.
Таблица II. Эллипсоиды Якоби.
а Ъ с id2 2itGp Н V Т
1,197 1,197 0,698 0,187 0,304 -0,585 0,0805
1,216 1,179 0,698 0,187 0,304 (-0,585) (0,0806)
1,279 1,123 0,696 0,186 0,306 (-0, 584) (0,0809)
1,383 1,045 0,692 0,181 0,313 -0,581 0,0817
1,601 0,924 0,677 0,166 0,341 -0,561 0,0850
1,8858 0,8150 0, 6507 0,1420 0,3896 (-0,552)
(0,0894)
1,899 0,811 0,649 0,141 0,392 -0,551 0,0901
2,346 0,702 0,607 0,107 0,481 -0,519 0,0964
