Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
и если это конфигурация относительного равновесия, то постоянную можно
выбрать так, чтобы давление на поверхности обратилось в нуль. После
выбора постоянной уравнение (10) определяет р внутри всей конфигурации.
Следовательно, необходимым и достаточным условием того, чтобы данная
конфигурация, вращающаяся с угловой скоростью и, была равновесной,
является постоянство на всей её поверхности выражения1
W+\lu2{x2+у2). (11)
Если обозначить это выражение, например, через (р(х, у, z), а уравнение
поверхности через f(x, у, z) = 0, то предыдущее условие будет означать,
что при всех происходящих одновременно смещениях ви-да / = 0 и df = 0
будет dp = 0. Другими словами,
др , др , др ,
-х- dx + dy + dz = 0 ох ду oz
для всех dx, dy, dz на поверхности / = 0, так что
с>/ , df , df ,
- dx + -тг~ dy + -7г~ dz = 0.
dx dy dz
Поэтому при смещении на f(x, у, z) = 0 любые две величины из dx, dy, dz
можно считать произвольными, так что условие (равновесия) можно
1 Поверхности равного полного потенциала (11) принято называть
поверхностями уровня. - Прим. ред.
68
Глава IV
записать как
dip др
дх ду ~д^
(12)
д? dj_ dj_
дх ду дг
когда f(x, у, г) = 0.
2. Общие эллипсоидальные формы
Для доказательства существования сфероидальной и эллипсоидальной форм
необходимо теперь показать, что для этих поверхностей выполняются условия
из предыдущего параграфа. Так, для эллипсоидальной формы давление
задаётся интегралом (10)
где С - постоянная величина. Следовательно, для поверхностей с одинаковым
давлением можно записать следующее выражение:
Первое уравнение в (14) задаёт отношения между осями, второе же
определяет (для заданного р) величину и> через отношения осей или, при
заданной угловой скорости, устанавливает связь между осями эллипсоида.
= ^со2(х2 + у2) - ттСр(ах2 + 13у2 + 7г2 - 5) + С,
Ю
2-KGp
A А
и для того, чтобы поверхность ^ Н-- + 3- = 1 совпала с одной из
а Ъ с
предыдущих, условия (12) приобретают вид
откуда следуют два уравнения
I
а2Ъ2{а - (3) + (а2 - Ь2)с2 7 = 0,
ш2 а2а - Ъ2/3 Ъ2/3 - с2 7
2ттвр = а2 -Ъ2 = Ъ2
2ттСр
(14)
Сфероидальные и эллипсоидальные формы
69
Подставляя /3 и 7 из (4) во второе уравнение второй строки (14), получим
откуда следует, в частности, что мы всегда должны иметь b > с.1 С другой
стороны, рассмотрев первое уравнение для и> из второй строки (14),
очевидно, что мы можем иметь как a Ъ, так и Ъ ^ а. Но, в согласии с тем
неравенством между полуосями эллипсоида, которое уже было выше оговорено,
далее рассматриваем только случай а ^ Ь. Таким образом, вращение
эллипсоида всегда должно совершаться вокруг наименьшей из осей.
Следовательно, конфигураций равновесия, имеющих форму вытянутых
сфероидов, не существует^9).
Согласно (4) ОО
Это уравнение устанавливает связь между осями любых эллипсоидальных форм.
Очевидно, что этому уравнению можно удовлетворить двумя способами: либо
мы берем а = Ь, тогда первый множитель обращается в нуль, либо, допуская,
что а ф Ъ (хотя, фактически, это так и есть), мы обращаем в нуль
интегральный множитель. Первое решение относится к сфероидам Маклорена, а
последнее - к эллипсоидам Якоби. Рассмотрим по очереди обе эти фигуры.
3. Сфероиды Маклорена
Если а = Ъ, то интегралы для а, /3, 7 и S выражаются через элементарные
функции, и формула (15) для угловой скорости сводится к
1Это неравенство, на самом деле, уже предполагалось ранее (см. форм.
(1)). - Прим. ред.
(15)
О
и следовательно, первое из условий (14) можно записать так:
(17)
70
Глава IV
где е является эксцентриситетом меридионального сечения. Очевидно, 2
что величина ^ не зависит от размеров сфероида и является функ-
Z7TG/9
цией лишь его сплюснутости.
Чтобы вычислить угловой момент Н системы, мы имеем
Н = %Ма2и 5
4 2
М = -ттра с.
О
Если г = (а&с)1/3, то
# _ 6 СО2 ,Л "2\-2/Ъ Гто\
СТА " 25 ¦ ЩЦ-р ¦(1 " е 1 ¦ (18)
Кинетическая энергия Т равна \Ма2ш2, и в выбранных единицах
О
энергии СМ2г~г она принимает вид
Т - JL . а2. . и2 (-in')
10 г2 2тг Gp К >
Таблица I даёт ряд значений некоторых величин для сфероидов Маклорена.
Данная таблица позволяет сформулировать следующие утверждения, которые
можно также доказать и аналитическим методом на основе вышеописанной
теории.
(I) Всякий сжатый сфероид с соответствующим угловым моментом является
возможной фигурой равновесия.
(II) Максимум угловой скорости вращения равен со2 = 2пGpx х0,2247 и
отвечает сфероиду с е = 0,9299, ^ = 2,7198.
(III) Для каждого значения и)2, меньше максимального, существует две
возможные сфероидальные формы, обладающие разными угловыми моментами. Для
значений и)2, больших максимального, сфероидальных форм не
существует^10).
(IV) Угловой момент возрастает монотонно и неограниченно по мере роста е
от 0 до 1, поэтому для данного момента вращения существует только одна
сфероидальная форма.
Сфероидальные и эллипсоидальные формы 71
Таблица I. Сфероиды Маклорена.
е а г с г id2 Я V Т
2iiGp с1 /2 ля3 /2 7-1 /2
0,0 1,0 1,0 0,0 0,0 -0,6 0,0
