Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
3,129 0,588 0,543 0,066 0,639 -0, 467 0,1006
5,041 0,452 0,439 0,026 1,009 -0,355 0,0993
оо 0,0 0,0 0,0 оо 0,00 0,000
В данной таблице те значения, которые заключены в скобки, непосредственно
не вычислялись, а были получены интерполированием. В шестой строке
значения приводятся с большим количеством знаков
74
Глава IV
после запятой, выделяя эллипсоид бифуркации, на котором грушевидный ряд
пересекает ряд Якоби.
Из таблицы следует, что для данных а и Ъ существует только одно значение
с, удовлетворяющее условию (20). Этот результат впервые был получен
Мейером (Meyer). Также видно, что угловая скорость является наибольшей
для сфероидального члена и после этого монотонно уменьшается вдоль
последовательности в направлении возрастающего углового момента. Общую
для рядов Маклорена и Якоби фигуру бифуркации можно легко найти,
подставив а = Ъ в условие (20), и записать с2 = а2(1 - е2). Тогда этот
интеграл сводится к простому уравнению
sin-1 е = v7! ~ е2 10е3 + Зе (24)
3 + 8е - 8е
имеющему решение е = 0,8127.
При возрастании углового момента бис стремятся к равенству, при этом b
всегда больше, чем с вплоть до предельной формы, представляющей собой
неограниченный цилиндр са = оо, 6 = с= 0и abc = 1, когда угловой момент
стремится к бесконечности.
Как и для сфероидов, потенциальная энергия непрерывно возрастает по мере
удлинения эллипсоида при увеличивающемся угловом моменте. Кинетическая же
энергия достигает максимума 0,1010 для эллипсоида, несколько более
удлиненного, чем конфигурация с а : Ъ : с = = 3,129 : 0,588 : 0,543.
С формальной точки зрения существует два ряда Якоби, ответвляющихся от
ряда Маклорена, но геометрически и физически эти ветви идентичны, и
разница заключается только в перемене местами а и Ь. Поэтому достаточно
рассмотреть только ветвь, для которой а ^ Ь.
Устойчивость сфероидальных и эллипсоидальных форм для некоторых типов
деформации
После того как было установлено существование последовательностей
Маклорена и Якоби, рассмотрим вопрос, касающийся их устойчивости. Здесь
мы не будем изучать общие деформации таких систем ввиду больших
трудностей вычисления для них соответствующих изменений в гравитационной
потенциальной энергии и в моменте инерции. Если же ограничиться
деформациями системы, когда её свободная по-
Сфероидальные и эллипсоидальные формы
75
верхность остаётся сфероидом или эллипсоидом, и притом наименьшая ось
всегда совпадает с осью вращения, тогда потенциальная энергия и момент
инерции даются известными выражениями. Если при таких ограничениях
система оказывается устойчивой, то большего таким методом достичь и не
удастся, в том же случае, когда система окажется неустойчивой, тогда её
неустойчивость даже при ограниченном числе степеней свободы все равно
следует рассматривать с физической точки зрения. Таким образом, особой
необходимости рассматривать другие виды смещений и не возникает,
поскольку общее смещение содержит вклады для всех возможных типов
деформаций.
Исследование устойчивости при принятых ограничениях даст нам наглядные
примеры применения ранее выведенных критериев устойчивости, а также
подготовит нас к более общим исследованиям в следующих главах.
5. Устойчивость сфероидальных форм при возрастающей угловой скорости
Далее мы рассматриваем последовательность Маклорена и возьмём угловую
скорость осей координат в качестве постепенно возрастающего параметра.
Также предположим, что при рассматриваемых деформациях форма остаётся
сфероидальной, а ось симметрии всегда совпадает с осью вращения1. В таком
случае система имеет только одну степень свободы, и в качестве
единственной координаты, необходимой для её определения, может быть взят
эксцентриситет меридионального сечения е. Конечно, этот пример является
искусственным с физической точки зрения, т. к. угловая скорость не
является существенным фактором для свободной системы.
Устойчивость или неустойчивость системы зависит от полного механического
потенциала2 i "
U = V-±tu2I,
где V дано в (8), а момент инерции
I = ^Ма2 = |Мг2(1 - е2)"1/3.
О о
1 Таким образом, рассматриваемая деформация жидкой массы соответствует
просто продвижению вдоль ряда фигур на последовательности Маклорена,
причём только до тех пор, пока их угловая скорость возрастает. - Прим.
ред.
2См. примечание к разделу главы 2 "Условия относительного равновесия". -
Прим. ред.
76
Глава IV
Таким образом, имеем
U = _1рС/Л51(1 _ е2}1/б sin_ie + к(1-ер-^у
1
где величина к = остаётся
2ттир
постоянной во время деформаций. Здесь ui будет угловой скоростью сфероида
только для той равновесной формы, в окрестности которой происходит
движение. Момент вращения, конечно, остаётся постоянным в выбранной
системе координат. Для прослеживания процесса деформации и выделения
определённого члена ряда
" " " Маклорена удобно использовать экс-
Рис. 10. График зависимости ш
, Л. центриситет е.
от е для сфероидов Маклорена С
Для нахождения равновесных конфигураций следует приравнять нулю первую
