Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
104
Глава V
Что касается 9, то у может принимать значения в интервале от -с2 до - Ъ2,
и никаких предельных переходов не требуется. Поэтому мы можем положить а
= Ь и, сделав х, у, z большими, найти соотношение между ними. Таким
образом, вместо
У2 z
а2 + у с2
2
= 1
получаем
sin2 9 , cos2 9 _ q
а2 + у с2
Отсюда sin 9= < / а ^ и cos 9 = * - ° ^ . Таким образом, когда
а =
= Ь, параметр у зависит только от 9. Необходимо помнить, что 9
определяется посредством выражений (17) и сводится к сферическому
полярному углу только на большом расстоянии.
Однако, поскольку произведение MN в общем случае является, как мы
определили, сферической поверхностной функцией по 9 и ip, для сфероидов
оно должно стать таким, чтобы М была функцией только от 9, а N - функцией
только от ip. Но когда обыкновенные сферические функции представлены в
нормальном виде, то функции, которые зависят только от 9, являются
функциями Лежандра P^(cos0), а те, что зависят только от <р -
тригонометрическими функциями sin рр, cos pp. Тогда у нас должно быть
( М(у) = РР(cos 9),
\ м( ¦> COS (р = 0, 1,, ..., п). (18)
N(v) = . рр, sin
Поскольку предельный переход не входит в отношения между у и 9, выражение
для возникающей здесь М (у) должно быть простым следствием подстановки а
= Ъ в общую форму М. В случае а = Ь можно получить функцию L(X) также
непосредственно из М(у), если заменить А на д. С другой стороны, её
нельзя получить из настоящей формы для N, т. к. та была получена в
результате предельного перехода.
Фактически, опуская произвольный постоянный множитель, мы имеем
М = PP(t) = (1 - t2)P/2Dp+n( 1 - t2)n,
Эллипсоидальный гармонический анализ 105
где t = cos(9, D = ^, а р может принимать любое значение 0, 1, 2, ..., п.
Если записать, например,
4.2 2/1 с2 + Ц 2
t = cos 0 = Г = -т ,
а2 - с2
тогда
М = (1 + т2)р/2 Dp+n{l + т2)п. (19)
Определённое таким образом т является мнимым для функции М, т. к. -с2 - д
> 0.
Чтобы найти функцию L(X), мы просто заменим д на Л в предыдущем
выражении, так что
L = (l+T2)P/2Dp+n(l+T2)n, (20)
где теперь
2 с2 + Л Т =
и т является вещественной переменной, поскольку Л + с2 > 0.
Каждому значению р = 1, 2, ..., п здесь соответствуют две гармонические
функции LMN, т.к. N может принимать значения cosрр или sin pp. Но для р =
0 есть только один множитель N, а именно - единица. Таким образом, как и
следовало ожидать, мы приходим к 2п + 1 гармонических функций.
10. Вытянутые сфероиды Ь - с
Если b -л с, то, поскольку -с2 > ц > -Ъ2, ясно, что в указанном случае д
не может больше служить в качестве параметра. Если учесть эту
особенность, мы определим в' и -0 следующими выражениями:
х = л/\ + a2 cos в', у = \/Х + Ь2 sin в' cos ф, z = л/Х + с2 sin в' sin
ф,
так что для Ъ = с координата ф является азимутальным углом в yz-
плоскости, однако в' становится полярным углом (отсчитываемым
(21)
106 Глава V
от оси х) только на большом расстоянии. Чтобы найти соотношение
между у и ф, имеем (по аналогии со случаем а = Ь)
У2 Ь2 + у 2
"Л = 2"- = ct§ ^
Щ <г + у
так что
у = -Ь2 sin2 ф - с2 cos2 ф.
Отсюда cosф = lim д и sin-0 = lim J - ° и
функция М
ь^с У ъ - с ь^с У ъ -с
будет зависеть только от ф.
Чтобы найти соотношение между в' и и, положим b = с, тогда х,
у, z принимают большие значения, после чего уравнение поверхности
X I У ^ Z __ -у
а2 + v с2 + v
вдали от начала координат приобретает вид:
cos2 9' , sin2 & _ Q а2 + v с2 + v
Следовательно,
sin
а/ / с Н- v I а и
причем эти соотношения не содержат никакого предельного перехода. Теперь
функция N зависит только от в1.
Как и раньше, поскольку MN, выраженное через в' и ф, примет вид
сферической поверхностной гармоники, мы имеем
cos ,
М = . рф,
sin (р = о, 1, ..., п). (22)
N = Рр{сos в')
В данном случае N является результатом подстановки b = с в общую функцию
Ламэ, в то время как М получается предельным переходом. Действительно,
имеем
N = (1 -t2)p/2Dp+n{l-t2)n, (23)
Эллипсоидальный гармонический анализ
107
где
,2 2 л/ a +V
t = cos 0 = ---------------------------.
az - cz
Отсюда, чтобы найти Р(А), запишем
t2 = 4^, (24)
az - cz
и затем, поскольку 1 - t2 теперь имеет отрицательное значение, мы всегда
получаем L в вещественной форме, записывая
L = (t2 - 1)р/2 Dp+n (t2 - 1)". (25)
11. Функции Ламэ, сводящиеся при а - Ь к cos руз и sinpy?
Для ответа на вопрос, какая из общих функций Ламэ приводится к cos pip, а
какая к sinpy>, было показано, что M(p)N(i>), будучи выраженным через (9,
уз, принимает вид тессеральной гармоники; таким образом,
M(p)N(v) = P?(cos0)C°SW (р = 0, 1, ..., п).
Если в правой части этого выражения мы хотим заменить в и уз на /г и v
то, опуская постоянные множители, соответствующими соотношениями будут
(х) sin в cos уз ос у/(а2 + у) (а2 + v)1 (у) sin в sin уз ос у/(b2 +
у)(Ь2 + v),
(z) cos в ос V (с2 + р)(с2 + v).
/ j \Р
К тому же, PP(cos6>) ос (sin0)p( Pn{t), где! = cos#, a P"(t) является
обычным многочленом Лежандра порядка гг. Таким образом, имеем
