Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
доказательства был бы, с незначительными изменениями, тот же самый и в
случае, когда существует минимальное значение z.) Если АВ - трубка,
проходящая через М, как показано на рис. 9, то относительно любой другой
трубки точка А находится на уровне большего гравитационного потенциала,
чем точка В. Отсюда для всей массы V{A) > V(B) и, согласно (2), р(А) >
р(В), тогда как для конфигурации равновесия давление в точках на
поверхности должно быть одинаковым. Следовательно, точка М, в которой z
является максимумом или минимумом, существовать не может. Отсюда,
поверхность должна быть плоской, а конфигурация относительно неё -
симметричной. Таким образом, всякая плоскость, проходящая через центр
масс О, должна быть плоскостью симметрии, а формой равновесия
невращающейся массы - сфера.
Здесь необходимо отметить, что доказательство остаётся справедливым, если
масса вращается вокруг любой оси, параллельной Oz, т. к. вклад
центробежной силы в потенциал в точках Ап В будет одинаков.
Следовательно, для вращающихся систем плоскость, проходящая через центр
масс и расположенная перпендикулярно оси вращения, всегда должна быть
плоскостью симметрии фигуры равновесия^8).
1. Устойчивость
Интуитивно ясно, что сферическая форма будет вполне устойчивой при малых
деформациях. Это легко можно установить с помощью сферического
гармонического анализа, причём такое доказательство наглядно иллюстрирует
общий метод, применяемый и для вращающихся систем.
Предположим, что а - это радиус невозмущённой сферы; тогда в возмущённом
состоянии (объём тела сохраняется) радиус точки на
60
Глава III
свободной поверхности со сферическими координатами (г, в, ф) задаётся
следующим образом:
r = a{l + s(6,ip)}, (3)
где s - малая величина, представляющая сумму поверхностных сферических
гармоник, т. е.
s =
оо 2п+1
ЕЕ
n=l т=1
KS(tm){9, ip). (4)
Здесь 2п + 1 независимых функций S(tm), а А(tm) - малые (по сравнению с
единицей) постоянные. Удобней записать это в более короткой форме:
s = J2^nSn. (5)
С точностью до малых величин первого порядка гравитационный потенциал
однородной массы, ограниченной поверхностью (3), во внешней точке можно
записать в виде
gfl2{? + E, 3aM"Sn }, (6)
IT Д' (2n + l)r"+1 J
где g - величина силы тяжести на поверхности невозмущённой сферы радиуса
г = а. Отбрасывая постоянный член, значение потенциала на поверхности (3)
с той же точностью можно записать так:
ОО
2^Е|гтiAnSn- (7)
1
Чтобы найти разность V - Vo потенциальных энергий возмущённой и
невозмущённой форм, применим обычный метод, записывая уравнение свободной
поверхности в виде г = а{ 1 + ks), где к - постоянная.1 На исходную сферу
один за другим накладываются возмущающие слои толщиной adk-s, так что в
итоге, интегрируя по к от 0 до 1, с точностью до малых второго порядка,
необходимой для нас, получим выражение
/л л оо оо
к dk ¦ 2да //(ЕЙт^ХЕ AnSri^J dcT,
q тг=1 п= 1
1 Поскольку ниже по dk проводится интегрирование, то правильно называть к
весовым множителем. - Прим. ред.
Сферическая форма
61
где двойной интеграл вычисляется по поверхности сферы радиуса г = = а.
Согласно свойствам ортогональности поверхностных гармоник, предыдущее
выражение сводится к виду
V = V0+gajr^IA2n f f S2nda. (8)
п=1 J J
Координаты системы, а их число в принципе бесконечно, можно сопоставить
множествуАп, причём общее смещение порядка п выражается тогда через 2гг.
+1 координат. Соответственно, коэффициенты устойчивости будут следующими:
//(5(tm))2^- (9)
Для всех п > 1 эти коэффициенты будут заведомо положительными. Таким
образом, потенциальная энергия сферы есть абсолютный минимум и,
следовательно, конфигурация обладает вековой устойчивостью1 .
Если п = 1, то, как и следовало ожидать, три коэффициента устойчивости
обращаются в нуль, поскольку три соответствующие гармоники для х, у, z
теперь относятся к малым сдвигам сферы как целого. Очевидно, сферическая
форма остаётся нейтральной относительно таких смещений.
2. Малые колебания
Если допустить, что колебания вызваны внешними гравитационными
возмущениями, то результирующее движение будет безвихревым. Если Ф - его
потенциал скоростей, то уравнение неразрывности будет представлено
уравнением Лапласа
У2Ф = О,
т. к. плотность р однородна. Подходящее общее решение будет иметь вид:
оо 2п+1
ф = Е <?)¦
71= 1 771= 1
1Этот важный результат впервые строго доказал А. М. Ляпунов. - Прим. ред.
62
Глава III
Для исключения бесконечных значений скорости члены для г с отрицательными
показателями степени отбрасываются. Как уже делалось раньше, этому
решению для удобства можно придать следующий вид:
ф = Е*"й5"
Поскольку рассматриваются малые колебания, то все коэффициенты Вп будут
малыми.
На свободной поверхности с точностью до членов первого порядка
включительно
дг _ дФ dt дг '
и поэтому
аАп = -%Вп. (10)
Мы уже видели, что потенциал на свободной поверхности,
обозначим
его через W, задаётся значением (7). Подставляя его в уравнение для
