Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
Поставленная задача допускает простое решение, если воспользоваться формулами Для конформного отображения области, близкой к кругу, на круг.
Итак, пусть дан контур Г с одной угловой точкой а2 и близкий к нему по положению и кривизне контур Г; мы
Рис. 78.
будем, кроме того, предполагать, что а2 принадлежит Г и что обе касательные к Г, гыходящие из а2, являются также касательными к Г (рис. 78).
Допустим далее, что изеєстєн поток, обтекающий Г; тогда мы можем считать изеєстной и скорость потока V9 как функцию длины s дуги контура Г. За начало отсчёта $ примем точку а2, возрастание s пусть отвечает положительному обходу Г; 0< S < Кроме того, используя (127), мы можем считать заданным соответствие точек Г и окруж- -ности і С і —¦ 1 при отображении С = F (я, Г):
6(e); s = s(b).
т Обозначим через n(s) длину нормали к Г, заключенную между Г и Г и Езятую со знаком — или + ? смотря по тому, расположена ли нормаль внутри или вне Г. Построим в плоскости С«= ре*® кривую у:
Имеем
Fez, r) = F{F(z, Г), Y} = Y),
1 F'(Z1 г) (с, г)! -^'(Z1T)I-
Отсюда, принимая во внимание (127), получим значение скорости jF| = |F(s)| нового потока в точке Z1 контура Г, ближайшей к точке z = z(s):
2 IFco I
|F|;
I F'(со, Г] Ff (оо, Y) I
C= [1 + 6 (Є)] «».
;sin0-sinQ2|| F'(z, Г) 11 Ff (С, y)|,
Подставляя вместо F (С, у) и F' (С, у) их приближённые выражения из (88) и (94), после простых преобразований долучим следующие OKOHVательнье формулы:
_ Г
cos QAQ- cos Q2AQ2 sin Q —sin Q4
1ДЄ
kiz
о Sina
2n
AS = ^ ctg 1
о
— t
b(t)dt,
Aee=Jotg^a (0Л.
(131)
(132)
В соответствии cv замечанием п. 49 фактические подсчёты целесообразнее ьестц путём аппроксимации функ-і$ии 6(6) тригонометрической суммой
8(6) = 2^(00 + 4^03 6 + 6^ sin 6 + я, cos 26+6, sin 26+ . ..)•
¦135 В этом случае формула (131) примет вид
— . і (л , , . GAQ — cos Q2AQ2 , ? . , . ? .
р, = 1р1[і + а0е + 86+ sin и_зіп Q2a — (^a1 cosQ + 6tsin 6 -f-
+ Ia2 cos 20 + 26s sin 20 + ... j , (131 'f
где
ДО = є (O1 sin O-^1 cos O2 + a2 sin 202 — fe2 cos 2Є2...), AG2 = e(axs:n O2- fcxcos b + a2 s'n 2b2-b2 cos 202,..). (132')
Формулами (131'), (132') можно также пользоваться для решения обратной задачі: по заданной вариации скорости на крыле найти соотьетстіующую гариацию профиля крь ла.
64. Лекальная вариация и вариация подъёмной силы.
Рассмотрим теперь частный случай вариации контура Г, ко да Г отличается от Г лишь на малой дуге с центром
в точке S0. Положим
2%
в.= в К), ^ b(t)dt = a.
В этом случае с точностью до мальх высших порядков сравнительно с а вне места вариации будем иметь
Afl = CtgbV Aea = Ctgfl-^-0O,
|F| = .F|
Q-Oft ^v2-uO)
і і і cos Q ctg -2 CosQ2Ctg 2
1 + ' 2SinQ-SinQ8 'С/
Из полученных формул, используя теорему Жуковского, можно получить также вариацию ЬР величины подъёмной силы P крыла в зависимости от вариации контура. Проще все. о получить 8Р, отправляясь от формулы (129). Согласно этой формуле имеем
InP-InP = Ctg O2 (B1-Ge)-In I F'(со, у) I —
2%
= Ctg еа J Ctg 0^t 8 (0 dt - I j 8 (0 dt. (133)
¦136 Для случая локальной вариации формула (133) примет вид:
In P - In P = (ctg 0а ctg ^0 - ± ) а
или
P = P {1 + (ctg 62 ctg -1) а} . (134)
Из (134) легко получить следующий качественный результат:
Пусть P > 0, а Г совпадает с Y на дуге ахаа2 (рис. 79, а) и расположен вне области, внутренней к Г; при этих условиях контур Г об-ладает большей подъёмной силой, чем контур Г.
Пусть P > 0", а Г совпадает с Y на дуге а1Аа2(рт. 79,6) и расположен вне области, внутренней к Г; при этих условиях контур Г обладает меньшей подъёмной силой, чем контур Г.
Для доказательства это о утвержде- рис ^
ни я достаточно рассмотреть локальную вариацию контура и согласно формуле (134) определить зн-ак
А = ( ctgeactg^-2i)a.
65. Волны в тяжёлой жидкости. Рассмотрим открытый канал бесконечной длины с прямоугольным сечением и горизонтальным дном. Пусть канал заполнен тяжёлой жидкостью, движения которой подчинены следующим условиям: 1) движение плоскогараллельное — голе скоростей параллельно вертикальным стенкам и одинаково ю всех течениях, параллельных этим стенкам; 2) пусть грямо-угольная система координат хоу (ось х принадлежит дну и параллельна стенкам, ось у направлена Еертикально Eiepx) перемещается с постоянной скоростью V0 в' напраїлении оси х\ мы будем предполагать, *то в системе координат хоу свободная поверхность и поле скоростей жидкости не зависят от гремени t.
Движения жидкости, подчинённые указанным условиям, мы будем называть установившимися волновыми движениязэдр жидкости в канале; число V0 будем называть скоростью распространения волновод движения.
¦137 Согласно нашему определению, с точки эрения наблюдателя, связанною с системой хоу, это поле даёт установившееся движение жидкости в обычном смысле. -
Общая задача теории установиЕіпихся еолн в канале ставится следующим образом: предполагая жидкость идеальной, определить ЕСЄ еозможнь.Є её уСТаНОБИБШИеСЯ волновые движения.
