Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
Поставленная смешанная задача допускает простую редукцию к случаю, когда область D есть полуплоскость.
Действительно, отобразим конформно область D на верхнюю полуплоскость т) > 0; C = f (z, Г). При этом отображении гармоническая функция 9 (х, у) перейдёт в некоторую гармоническую функцию 9* (?,•*]), правильную в верхней полуплоскости:
= 9 [я (Є, Y)), У (S, ч)],
где
* = + M = F(C)
есть функция, обратная C = /(z, Г). Обозначим Яу точку оси, % — образ конца дуги уу и начала у/; на каждом отрезке (ajf а/+1) оси Є функция 9* нам известна:
9* (Ef 0) = 9 [X (If 0), (?, 0)] = /у (в) = ^ (Є).
G другой стороны, на каждом отрезке (?j-lt oy) известна частная производная -
^ = ?!*" (S)I = F1WWI = V(S).
Пользуясь этим замечанием, легко решить вопрос о единственности решения ударной задачи. Докажем следующее предложение:
две ограниченные в области D гармонические функции и 92, совпадающие на всех дугах у у, а на всех дугах у у имеющие одинаковые нормальные производные, совпадают тождественно.
В самом деле, согласно условиям теоремы гармоническая функция 9 = 92 — 9г ограничена в Df причём на у7': 9=0,
анауу:^=0. В силу приведённой выше редукции за D можно принять полуплоскость у>0. Применяя к — принцип симметрии Шварца, мы можем ~ , а следовательно, и 9
аналитически продолжить на нижнюю полуплоскость через каждый из отрезков у/> дополненная таким образом функция 9 будет правильна и ограничена Есюду вне отрезков у}, а на этих отрезках (кроме, быть может, их концов) будет
Конформные отображения
145 обращаться в нуль. Согласно теореме единственности решения задачи Дирихле1) функция <р будет тождественно равна нулю.
Таким образом, если в условиях задачи дополнительно потребовать ограниченности искомой функции, то решение её будет огределяться единственным образом. Нетрудно показать на примерах, что если отказаться от ограниченности решения, то задача может допускать бесчисленное множество решений (с особыми точками в концах дуг у).
Требование ограниченности в ударной задаче может быть обосновано чисто механическими соображениями.
67. Рсшшие смешанной задачи. Начнём с изложения одного простого геометрического приёма, позволяющего свести поставленную смешанную задачу к задаче Дирихле.
Произведём конформное отображение полуплоскости Yj > 0 на многоугольную область Л плоскости Z = X -f- iY, oi раниченную отрезками прямых dj, параллельных координатным осям — оси X, оси У (рис. 82),
jZo
Рис. 82.
(С—<*i) 4-а») ¦ • .(С —
(С-
(? — «»!. . . (?— а2„_2)
д.
(143)
Отображение (143) таково, что отрезок (a2jf а2/+1) переводится в отрезок, параллельнь й оси X9 а отрезок (аа/+1, ^2/+2) — в отрезок, параллельный оси У. Гармоническая функция.
Ф(Х,У) = ?* [?(Х,У),ч(Х,У)],
где (5, rj) — искомое решение смешанной задачи для полуплоскости Yj > О (см. п. 66), a C=C (Z) = S (X, У)+ + У) — функция, обратная (143), правильна в Д, причём на отрезке d2j, на котором известны значения 9* = |л($)
дФ
Ъх
'P'(S)
dt ! Ы
(144)
*) См., например, Гурса, Курс математического анализа, tfJJI, ч. 1, стр. 175—176.
Ш а на отреаке c?aJ-+l, на котором известны Значения нормйлЬ* ной производной = V(S)
дФ ZfV
I1«')
Следовательно—гармоническая функция^ известна во всех
точках іраницьі Д; кроме её угловых то1 ек. Переходя к переменным S, Y), мы по этим гранитным данным с помощью интеграла Пуассона х) можем построить функцию, гармоническую в полуплоскости Y) > 0. Переходя к переменным Xi Yj кы после инте. рации по X получим в области А і армоническую функцию Ф(Х,У), удовлетворяющую граничным условиям (144), (144'). Возгращаясь к переменным 5, Y), получим функцию <у** (S, 7]), удовлетворяющую следующим !раничным условиям:
-jl^—(S) на отрезках a2ja2hl,
д-п ssv^ На 0ТРЄЗКаХ aaMflaM
При построении <р** в нашем распоряжении оставалась только одна произвольная постоянная; этой постоянной мы можем распорядиться так, чтобы на отрезке а0 cl1 имели 9** = a (S); для построения нужного решения нам ещё недостаёт (п — 1)-ю параметра. Для получения окончательного решения построим ограниченную гармоническую функцию g, правильную вне отрезков O2/+ia2/+2 и равную ?**(?2/+1, 0)
на отрезке я2/+1а2/+а. Функция
= g
будет, очевидно, удовлетворять всем данным і раничным условиям.
68. Формула Келдыша-Седова. Приьедём более эффективное решение поставленной выше смешанной задачи
1I Для возможности применения интеграла Пуассона достаточно, чтобы полученные граничные значения были абсолютно интегрируемы. При соблюдении этого условия получаемая ниже функция ср** будет ограничена—конструкция решения даёт его существование. Для за-
дачи об ударе граничите значения ограничены, следовательно,
возможность применения интеграла Пуассона не вызывает сомнений.
1.0*
147 Для случая, когда d есть верхняя полуплоскость. Функции ^ и ~ известны по условию, соответственно, на отрезках у/ (%-1 я2у) и Yj (а2j гДе они принимают значения и v(V), будем считать ^r (х) и v (х) непрерывными и ограниченными.
