Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
I Г (Z09 V01 Г) I =
оо оо
sh ^ 4 I ch^
причём остаточный член г оценивается формулой
\г\<кг\
в которой к —постоянная, зависящая только от п и от max I у (х) — у0(х)\.
54. Узкие полосы. Значение производной конформного отображения данной полосы на прямолинейную полосу в какой-нибудь граничной точке зависит от положения этой точки и от всей іраницьі полосы. Таким же свойством обладают полученные выше приближённые выражения для производной.
В случае узких полос, или полос с медленно меняющейся кривизной для граничных значений |/' (zf Ги, Г)|, можно построить приближённую формулу, в которой участвует, кроме рассматриваемой точки лишь ширины полосы, угол между Г0, Г и кривизны этих линий, причём все эти величины берутся в данной граничной точке z одной граничной линии и в некоторой точке (определяемой точкой z) другой граничной линии. Мы остановимся на случае узких полос.
Условимся в некоторых обозначениях. Пусть дана полоса D (Г0, Г) и пусть Z0-произвольная точка Г. Проведём че-
¦117 реЗ z0 нормаль к Г до её пересечения с линией I10 пусть в точке Z0. Через п = п (z0) обозначим длину отрезка z0z0.
через 6 = 6 (z0) обозначим угол между норхмалями к Г0 и Г, проведёнными, соответственно, через to1jkhz0 и z'0;^ерез ft (z0) и Zc0(z0) обозначим кривизны линий Г и Г0, соответственно, в точках Z0 и z0. Криьизны ft0 (к) мы будем брать со знаком + , если Г0 (Г) обращена к D выгнутостью (выпуклостью), и со знаком — в противном случае; (для случая, изображённого на рис. 66, обе кривизны линий Г, и Г следует брать со знаком + )•
В рассматриваемом случае удобнее рассматривать конформные отображения области D (Г0, Г) на узкую полосу О < V < А; функцию, осуществляющую такое отображение, мы условимся обозначать через
w = /(z, Г0, Г, А), /(± со, Гв, Г, А)=± со.
Теорема 13. Пусть А — малое положительное число, а линии Г0 и Г удовлетворяют следующим условиям:
kh < п (z) < Ch, I B(Z)KftlA; |ft (z)-ft0 (z)Kft1A;
\К (z)\<Ki 'I ft (z), <a«;
dk <ґ к - ' \dh° I ft
Tz ^ ^3' Ydz
где kj и С— постоянные, не зависящие от А. При этих условиях
|/'(z, Г0, Г, A) I =
-T{1+Tfc+Tft.+sfc, + Te,}+B' (108)
причём остаточный член R имеет следующую оценку:
I Д K^ft3A2, (108')
где А— постоянная, зависящая только от постоянных ft, С,
ft и kt.
Доказательство. Прогзведём прежде всего г:одоб-ное расширение плоскостей z и w в отношении у: z = A*, при этом линии Г0 и Г перейдут в линии Г0, Г'
¦118 со следующими свойствами:
ft < и (С) < С, (SXA1A; I ft Q-ft, WK Ms;
! ft I < M, «і?
fto
А, dt
< ft A
< ft8A2.
Формула (108) в новых переменных запишется так:
l/'(Z) г;, г')| = і /' (z, г„ г, А)| =
Проведём через точки Z0 и Z0 окружности C0 и С'0, соприкасающиеся, соответственно, С Го и Г' в точках Z0 и Z0. Рассмотрим отдельно два случая: 1°. Допустим, что окружности C0 и C0 пересекаются (рис. 66), и отобразим конформно луночку D (C0, C0), содержащую отрезок U1 на единичную полосу
«V = / (2, C0, С[)
Рис. 66.
при условии, что угловые точки переходят в точки ± 00 полосы. Согласно формуле (61) получим
(109)
Сравнивая правые части (108) и (109), мы видим, что для доказательства теоремы достаточно оценить разность I/'(z0, Г;, Г')| — I/' (z0, C0, Q|. Для этой цели проведём
окружность С' с центром в точке Z0 и радиуса г =--,где
V— постоянная, не зависящая от h, подбирается так, чтобы луночка D (C0, C0) содержала точки С с разностью аргументов, большей ^u; возможно большое значение v, удовлетворяющее этому условию, может быть определено через ранее гведённые постоянные к, Aj1, к2.
Обозначим, соответственно, через A0 и 4 части областей D (C01 C0) и D (Го, Г'), расположенные внутри С', а через а и ft —точки С', расположенные в D (C0,C0',) и D (V0, Г')
m и с разностью аргументов, близкой тт. Пусть
^ = ?о(а)= ?о {Ь)=со,
W = y (z), Cp (а) = — OO, ср (6) =OO
суть функции, отображающие области A0 и Д на полосу
0< V < 1.
Согласно условиям теоремы и в силу п. 47, в областях A0 и А имеем
fc-e<|/'(*, г;, г')|<с+з,
где є мало вместе с А.
Отсюда, используя теорему 11 предыдущего пункта, можно убедиться, что в точке Z0 при h достаточно малом
11 ?: (2.)1 - I /' (*., Cl, Ql I < е" ^ < C0A*,
11*'ЫЫ/'(*., г;, Гц )< C1A4.
Нам остаётся оценить разность | <р' (z)| — | ср'0 (z) . Для этой цели отобразим конформно с помощью функции
область Д0 на полосу О < r\ < 1 плоскости линии Г^ и Г' перейдут при этом в линии, Yo: 7I = 7IoG) и Y: 7I = 7I близкие к прямым. Если положить
?о W = = + Ь
то согласно построению и условиям теоремы будем иметь
K(S)K^Vl |s-s.|8, Ii-^(S)K^Vl IS-S1I8,
или с точностью до малых высших порядков
ho (S)K ^iS-S0 I3-
|i-4(s)l<*tris-s,r-
Имеем, очевидно,
?(z) = /[?o («), То, у], >'и)і=і?;иіі/'[?.(2), Yo, у]]- (in)
¦120
(110) Воспользуемся теперь для I I её приближенным выражением; согласно формуле 105 получим
Ifft. Т.. т)1 = 1-? 5 bSr^O-
-OO Sh
-O3Ch2 -^y-
где А —ограниченная величина.
