Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
Займёмся конструкцией аналитической в верхней полуплоскости функции
/(*) = ? + *' Ц = и\х,У) + ™(х,у).
Согласно условиям задачи имеем
и (я, 2/) = К-'(*) на Yf9 V (х9 у) = v(x) на Y/-
Как отмечалось выше, этими условиями функция / полностью не определяется, мы потребуем дополнительно, чтобы 1) в точках a2J- функция / была ограниченной, 2) в
Z
точках а2/+1 был ограничен интеграл ^ f(z)dz9 3) в точке
і
оо функция / ограничена и действительна. Рассуждениями, аналогичными приведённым выше, нетрудно показать, что при этих дополнительных условиях / определяется единственным образом.
Для построения / введём прежде всею следующую вспомогательную функцию:
г ft=1* а%к
Выбрав при Z= і определённое значение длдагкорня, будем обозначать через g (х) предельные значенияЩ на действительной оси при подходе к ней сверху. При этих обо-< значениях искомая функция f(z) определится по формуле1)
п CLzic п а,2к+1
A-=I a2k-i A=I
Если отказаться от условия ограниченнрсти функции
*) В справедливости этой формулы можно убедиться непосредственно, можно её также получить применением формулы Коши к функции g (z) f (z) (см. JI. И. Седов, Теория плоских движений идеальной жидкости, стр. 95, Оборонгиз, 1939).
¦146в точках a2j, то общее решение смешанной задачи будет иметь следующий вид:
F (z) =f(z)+ + Ті'+"•+*»*) ,
КП — а2к) (*— a2ft+1)
A = 1
где функция f(z) определяется формулой (145), а у/ — произвольные действительные коэффициенты.
69. Удар пластинки оводу. Приведём три частных примера ударной задачи. Пусть область D есть нижняя полуплоскость у < 0. Твёрдое тело С в момент удара каса-
іУ
^ifl
у = O по отрезку (— а, а) (рис. 83) и мгновенно приобретает скорость F0, рис S3.
направленную вертикально вниз.
Потенциал «у (ж, у) искомого течения есть гармоническая функция, правильная вне отрезка ( — a, а), а на отрезке (— а, а) имеем
^*= -Г
ду
На лучах ( — оо, а) и (а, оо) имеем 9= 0, следовательно, и
2-0.
и по формуле Келдыша-Седова (145) получим
v ' ax оу 01 i/V-—я2
Из условия, что в точке Z =оо, ^ = O3 следует, что константа Y = O и окончательно
й = Reeiyi^. (146)
c^ ]/a2 — з2 дх у а2 —22
Импульсивное давление в произвольной точке # отрезка ( — а, а) будет равно
iaV° ( I ~ arcsin при ж > О, P = P?(s,0)=J )2 х Л (147)
|aF0 ^arcsin - + - j при х < 0.
¦149В момент после удара скорости частиц жидкости, расположенных на свободной поверхности, нормальны к сео-бодной поверхности, а ьеличина их определится по формуле
F=^j ^-F0 + -^.
dy 1v-o 0 ' у\ 2—аг
Опираясь на формулу (147), нетрудно решить следующую механическую задачу: тело С массы т при свободном падении ударяется о воду по отрезку (— а, а); скорость тела в момент до удара равнялась F1; определить скороохь тела после удара.
Обозначим ».срез F2 искомую скорость тела после удара, но тогда согласно (147) в момент удара на тело подействует импульсивная сила
0 а
P = CifV2 ? ^ + arcsin —^ dx + aresin * =
—a 0
= 2a2pF2.
G другой стороны, по теореме о количестве движения имеем
P = TH(V1-V2)t
Сравнивая последние две формулы, окончательно получим
у _ TYlVl
т -{- 2ра2*
(148)
-І
Скорость F2 есть также та скорость, которую тело получит'при неупругом ударе о тело массы 2^a2; в Соответствии с этим число 2ра2 но^т название присоединённсй массы пластинки, плавающей в жидкости.
70. Удар сосуда, частично наполненного жидкостью. В качестве ето-
рого примера разберём следующую задачу. Рассмотрим открьтьй прямо-угольнь й сосуд, с вертикальным сеі ени-ем ABCDy наюлненньй жидкостью (рис. 84). I Допустим, что, находившись перюначально в покое, сосуд мгновенно приобретает единичную скорость в направлении оси х—своего горизонтального ребра. Требуется определить Еозникающее при этом поле cko-
і
Рис. 84.
¦150ростей в жидкости и импульсивные давления на стенки сосуда.
Мы бу,гем предполагать, что вдоль стенок сосуда после удара нормальные к стенке компоненты скорости бу,сут совпадать с соответстгующими скоростями стенок.
Искомьй потенциал <р удоілетворяет условиям: ^ = О вдоль AB9 ^=I едоль AD и BC1 <р = 0 вдоль DC. Дополним прямоугольник ABCD грямоугольником BFEA1 симметричным с ABCD относительно AB. Начало координат поместим в середину отрезка EF9 и пусть Co1-длина AB и о)2 —длина ED. Продолжим искомую іармоническую функцию в этот і рямоуі ольник 1J; очевидно,вдоль EF будет ^ = о, а вдоль AE и BF ^ = 1.
с3-
Положим ^ = к, = для определения іармони-
ческой функции и(х, у) мы имеем за,га*у Дирихле: на сторонах DE и CF прямоугольника EFCD ю = 1, а на сторонах CD и EF
и = 0.
Решим прежде Есего эту задачу. Для этого отобразим конформно грямоугольник EFCD на верхнюю полуплоскость, с помощью функции, обратной (63) (см. п. 42, пример 12°)
С = 5 +^ = ^to(O1O)l).
Гармоническая функция и(х9 у) перейдёт в гармоническую функцию от новых переменных и (с, Y)), причём граничные значения этой функции равны единице на отрезках