Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):


Опираясь на формулы для конформных отображений близких областей, мсжно также дать существенное уточнение метода фрагментов: примем за у}' полуьолну синусоиды с амплитудой 6у, соединяющую конец уу с прямой у = —h0. Считая области Ay близкими к прямоугольнику, мы сможем построить эффективное отображение Ay на полуплоскость и тем самым построить функцию Фу, равную единице на уу' и нулю на уу'+1 и обладающую нулевой нормальной производной на остальных участках границы. Функция Фу линейно зависит от параметров синусоид fcy, 6у+1. По функции Фу мы, как раньше, строим искомый потенциал 9
?«(?/*!-?/)ф/ +9/-
В построенном Еь ражении для 9 имеется 2к числовых параметров 9у и 6у. Система (157) даёт р уравнений; ещё р
1J Положим ещё <Ров0>
¦158уравВейиЙ мы полу^m5 если потребуем, чтобы расход Жидкости, вытекающей из Aj^1 герез верхнюю половину Yy', равнялся расходу жидкости, втекающей в Ay череа ту же IfcCTb Ї/
і 74. Методы пересчёта. G точки зрения практических Іриложений особый интерес представляет вадача создания Іозможно более простого метода для пересчёта значений 9 Ври переходе от данной конструкции к конструкции близкой. В самом деле, допустим, что при расчёте запроектированной конструкции оказалось, что некоторые величины (расход, давление на флютбет, выходная скорость) превышают допустимые размеры; тогда естественно возникает вопрос о том, где и насколько следует усилить конструкцию,
Укажем путь для решения поставленной задачи в случае, KO^ да новая конструкция отличается от старой длиной одного шпунта: требуется определить изменение расхода и потенциала 9, когда шпунт у/ удлинён на величину ДА. Мы будем предполаї ать, что для исходной конструкции известен потенциал 9 и связанные с ним выражения (в частности, функция / (Z, Г).
Пусть при отображении C = / (z, Г) конец Zi = (ah —Ij) шпунта Yj переходит в точку а оси g и пусть в окрестности Т0ЧШІ Zj имеем
/(*. Г) = VfST^+ Z1 Wi
где Z1 (z) регулярна в точке Zy.
Обозначим через D (Г) область течения при новой конструкции. При отображении C =/(z, Г) область D (Г) переходит в область А, получаемую удалением ив верхней Полуплоскости малой дуги у Длины е,
S =S Aj ^/ДА,
выходящей из точки а ортогонально оси G точностью До малых высших порядков мы можем считать Y прямолинейным отрезком. При этих условиях для отображения Д на полуплоскость мы можем воспользоваться формулой (52)
га-ЛВД1»?*0).



