Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
бражение области D на прямоугольник, ограниченный прямыми ? = ф = <р2> ^ = ^ = причём точки — оо, О, I1 +оо переходят в вершины прямоугольника. Имея в виду формулу (63), можно ограничиться конформным отображением области D на полуплоскость y) > 0:
С = / (2).
Пусть при этом отображении то*ки — оо, 0, оо переходят в точки а1У а2, а3, а4; применяя дополнительное линейное преобразогание, мы можем перевести эти точки
1 1
в точки —у, —1; , 1 —можно заранее считать, что
/(—= — -р/(O)=— і, /(0=1, /(+«>) = !.
Тогда искомый потенциал примет вид
где X ^2)-функция (63) п. 29, a'(O1 и ш2 опреде-
ляются го формуле (63):
і
1 к
P _dt__С _dt_
c0is2J /(Izr^2Hi ~*2t2) ; 0^J j/(t2 — 1)(1 —A2«2) '
О 1
Высота прямоугольника
будет давать расход жидкости под сооружением.
2°. При отображении (155) функции ср (я, у) и ф (х, у) перейдут в функции у* и
9* (6, Y]) = ? (6, ч), V (5» І)], Г& = Ч)і У Ч)],
¦155 причём 9* правильна всюду вне отрезков , —
и ^l,и принимает на этих отрезках, соответственно, значения <рг и <р2, а й* правильна вне отрезков оо, —^ ,
( — 1, 1) и (1, оо) и принимает на этих отрезках значения <1>г, но тогда выражение для <р* (?, у) + ity* (?, у\) можно получить го формуле Келдыпа-Седога (145).
72. Качественные замечания, вычислительные приёмы. Применяя к разбираемой задаче вариационнке теоремы, легко полупить ряд заключний относительно характера изменений расхода, выходной скорости и давления при изменениях в размерах элементов сооружения.
Если уьели* ить длину Ol но о или нескольких шпунтов, то ice линии тока снизятся, расход уменьшится, выходная скорость уменьшатся. Если стремиться уменьшить выходную скорость, то наиболее эффективным является удлинение крайнего правого шпунта.
Если увеличить длину одного шгунта, то давление на флютбет слева от этого шпунта увеличится, а справа уменьшится; в частности, угеличение длины крайнего пра-еого шпунта увеличит даїление на флютбет ьеюду.
Те же теоремы и соотЕетствующие формулы /ают также возможность обосноіать и уточнгть разли* ные приближённые приёмы ,тля численного решения зада1 и.
Одним из наиболее распространённых приёмов для приближённо о Oi ределения потенциала <р является так называемый метод фрагментов Пэелоеского.
73. Метод фрагментов. Прове/ём іерез концы шпунтов эквипотенциалы yj : 9==9/5 линия yj соединяет конец /-Ю шпунта с линией у = — К и вместе со шпунтом у/ образует линию с непрерывно меняющейся касательной, ортогональную к у = -A0 (рис. 85). Линии yj разрезают область на р + 1 частей — фра; ментов — D01 D1, ..., Dp. В каждом фраїменте Dj (/= 1, 2, р — 1) потенциал ср удовлетворяет следующим граничным условиям: на yj 9~ 9/> на Yy+i
9 = 9/+1» на остальных участках границы J^ = 0. Аналогичным условиям потенциал ср удовлетворяет во фраї ментах D0 иОр; именно, для D0-на луче ( — со, 0) 9 = Ф0, на <р = <р19
на остальных участках іраницьі/)0: |^ = 0;длn.Dp— на луче (/, оо):9 = Фр, на у' 9 = 9Р, на остальных участках гра-
¦156 ницы Dp: ^ = 0. Заметим теперь, что если расстояние между
соседними шпунтами значительно по сравнению с их длиной, то линии Yj мало отклоняются от прямолинейных отрезков у j', перпендикулярных к у = -A0- Обозначим 1ерез Aj прямоу, ольник, получаемый из Dj заменой Yj> Yy+i отрезками Yp Yy+і5 области Д0 и Ap будут при этом полуполосами (рис. 85).
Перейдём к конструкции приближённого выражения для потенциала <р. Прежде всего строим в каждом прямоугольнике Aj іармоническую функцию Ф/ (%, у) по следующим граничным данным: 1) Фу = 0 на отрезке yj+1; 2) Фу = 1 на
„ оч аФл л
отрезке у j] о) J =U на есєх остальных участках ipa-ницы Ay.
Заметим, что согласно общей теории фактическое построение Фу сводится к конформному отображению Ay на полуплоскость, следовательно Ф/ будет выражаться инте-I ралом типа (63).
Зная Фу, строим функцию Wj, согряжённую с Фу; пусть m'j, mj —изменения функции Wj на отрезках Yp Yy+i
т) = W1 (ay, - lj) - Wj (ау,— h0) = dy, |
\ (155)
-ho J
где cij, —Ij суть координаты конца /-го шпунта.
За искомое приближённое выражение для ср в области Ay примем
у) = (?м-?/)Ф/(я, у) +у г (156)
Функция cpj очевидно удовлетворяет своим граничным условиям (при замене фра мента Dj прямоугольником Aj), и чем меньше Yj отклоняется ОТ отрезка Уу, тем меньше 9у будет отличаться от <ру.
В формулах (156) имеется ещё р неизвестных параметров <рА, <р2, <рр. Эти параметры мы можем определить из условия совпадения расходов жидкости в двух соседних фрагментах, т. е. из совпадения приращений на отрезке »у j функций Ifjmml и фу, сопряжённых с 9у_г и <ру. Имеем
¦157 Следовательно, параметры <р, должны удовлетворять следующей системе уравнений:
Wy^ (*/ - Ty-i) = (9^1— */) x)t /-1,2,..., р. (157)
Система (157) есть система р линейных уравнений с р неизвестными 9у. Определяя из неё <р/ и подставляя их значения в (156), мы получим искомое вкражение для
9 (х, у) EO всех фрагментах.
Как уже отмечалось выше, точность метода фрагментов зависит от величины отклонений линий 9j от отрезков 9J. Укажем путь для числовой оценки поірешнссти. Возьмём /-ый шпунт; пусть Df есть часть ?), расположенная слева от этого шпунта уу, a D" — часть D9 расположенная справа от него. Заменим часть D" областью Dffv9 симметричной с С' относительно у у. Для области D1 = Df + Dff19 линия у у очевидно будет совпадать с отрезком у*. Используя вариационные теоремы, мы гожем оценить вариацию функции /(z), реализующей конформное отображение области D1 на полуплоскость при переходе от D1 к D1 и получить тем самым оценку отклонения у у от Yy'. Наша задача свелась к оценке разности 9 и 9 в зависимости от отклонения у' от Yy' или области Dj от прямоу. ольника А у, но эту оценку можно получить, используя формулы гл. V для конформных отображений близких областей.
