Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
^l, у^ и ^ — — !^,соответствующих CF и DEy и равны нулю на отрезках ( — 1,1), со,
соответствующих EF и CD (тоіке со соответствует точка отрезка CD) (см. п. 42). Непосредственно убеждаемся
х) Эго возможно, ибо на отрезке AB — =*0. См. И. И. П р я-
оу
валов, Введение в теорию функций комплексного переменного, стр. 33Q—331, изд. 6, 1940,
¦451 в том, что решением этой задачи будет
в (S, Ч) = гг Im
In
(С+1) (с-4)
Возвращаясь к переменной z, получим п(х, 2/) = g =
f Г W (2; »!,»,J + ll J]'
= — Im{ln р-г------ -,
** [ [Vl»;^,®,)+ I J [W J
(149)
JIei ко проверить, что функция и — iv — аналитическая, следовательно
v(x,y)-.
' Oy'
=-ReeH In
71
Ч' (z\ CO1, CO2) + 1 ] (я; CO1, CO2) - -і J
W (z; <о:, co2) + -1 J [w со,, co2) j
(149')
Простым интегрированием получим искомый потенциал <р(я, г/), и следовательно импульсивное давление P= — РФ*
Максимальное давление, соответствующее, очевидно, точке В (рис. 84), получим, инте> рируя —-рdtp вдоль стороны FB.
Приведём в заключение результаты числовых подсчётов для двух частных случаев.
1°. Допустим, что сечение рассматриваемого сосуда есть квадрат
AB = ВС = h.
В этом случае ?ля максимальної о импульсивного давления получим значение
Pmax = 0,46 рй7,
или; еводя массу жидкости т,
. mF
Pmax = 0,46 h .
2°. Допустим теперь, что то же сечение есть прямоугольник с длиной, вдвое большей, чем высота
AB = 2BC = 2h]
№ В этом случае ДЛЯ РщахПОлуЧИМ значение Pmax = 0,64pAF,
или, вводя снова массу жидкости т = 2рА2, р __ о V
і max — V,о*j д .
Заметим, ITO если Еьсота сссуда будет велика сравнительно с е о длиной, то максимальное импульсивное давление бу;ет близко к импульсивному давлению при у; аре сосуда, закрытого ctepxy. В этом случае теорема количества движения даёт
P-1JlL h '
Таким образом, для перво о случая, сосуда с квадратным се* ением, снятие KpL шки амортизирует удар жидкости ь переднюю стенку на 54а во втором случае на 68%.
71. Движение грунтогых вод. Как показывает опыт, движение грунтовых вод в однородном і рунте достаток но то1но следует законам дьижения идеальной жидкости. Ограничиваясь, как раньше, плоским слуіаем, допустим, что через область D, заполненную грунтом, просачивается жидкость, и предположим, что движение установившееся. Обозначим через P (х, у) давление в произвольной точке X, у области D. Имеет место следующий опытный : закон (закон Д а р с и): скорость частиц жидкости в точке (?, у) пропорциональна градиенту давления и направлена в сторону, противоположную градиенту
V= — /с grad Р. (150)
Коэффициент пропорциональности к зависит только от характера грунта и назьвается коэффициентом фильтрации. Добавляя к закону Дарси( 150) условие несжимаемости жидкости
div Y = O, (151)
мы получим, что поле скоростей движения просачивающейся через D жидкости обладает потенциалом <р
9{х,у)=-кР{х,у), (152)
который является гармонической функцией, правильной в области Dt
¦153 Рис. 85.
При Проектировании ШГОТЙН ОДНИМ HS существенных элементов их расчёта является решение следующей задачи: дана область D9 граница Г которой состоит из следующих
прямолинейных участков (рис. 85):
1) прямая у — — A0,
2) луч (— оо, 0) оси X,
3) отрезок (О, І) (флютбет),
4) луч (/, со) оси X,
5) вертикальные отрезки (шпунты) Yy, выходящие из точек О, X1, х2отрезка (О, I) и обладающие длинами //(/ = 1, 2, ..., п).
Область D заполнена водопроницаемым і рунтом с коэффициентом фильтрации к.
Над флютбетом (О, I) расположено сооружение А\ слева от А под осью X расположен слой свободной жидкости толщины Я2, а справа от А — слой свободной жидкости толщины H1; H1KH2.
Стенки сооружения А, флютбет, шпунты и основание у = —hQ считаются водонепроницаемыми.
При перечисленных условиях требуется определить уста-новиыпееся движение жидкости в области D9 причём проектировщиков интересуют в основном следующие три гели-чины: 1) расход жидкости, 2) максимальное и общее давление на флютбет, 3) максимальная «выходная» скорость на луче (I9 ©о).
Найдём граничные условия, которым должен удовлетворять потенциал скоростей <р.
В силу водонепроницаемости основания B9 флютбета и шпунтов на ьсех участках Г, соответствующих этим элементам, должны иметь обтекание, т. е. должно выполняться соотношение
ду
дп
= 0.
(153)
Кроме того, на участках ( — со, 0) и (/, оо) давление P должно быть постоянным: на левом участке P = Ptf2 + /^ на правом участке P = ^H1 + р0, где р — плотность жидкости, — давление атмосферы. Следовательно, вдоль ( — оо, 0)
? = + (154)
а вдоль (/, оо)
= = (154'}
154 Таким образом, поставленная задача движения грунтовых вод под сооружением привелась к частному случаю задачи, разобранной нами при изучении удара.
Отметим два приёма решения, учитывающих специфику граничных условий (153), (154), (154').
1°. Обозначим через 0 функцию тока; в силу условия (153) у сохраняет постоянное значение ^0 вдоль j/= — A0 и постоянное значение ^ = вдоль флютбета и шпунтов. Комплексный потенциал реализует конформное ото-
