Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
условия (7.8). Если постоянную X отождествить с квадратом массы
калибровочного поля 2т2, то S2 окажется действием для массивного
калибровочного поля, причем масса будет иметь смысл множителя
Лагранжа. Подобная интерпретация массы иногда используется в
классической механике.
Уравнения Эйлера, соответствующие 8S2 = 0, имеют вид
Р?Уу - т2А5 = 0. (7.10)
Система экстремалей не изменится, если уравнения Эйлера представить в
виде
Р%/тя - АЧ = 0. (7.11)
Уравнения (7.11) можно теперь рассматривать как уравнения Эйлера,
соответствующие вариации функционала Sx == [ Аadv при
дополнительном условии:
5 = - J E"v Fgv dv = а =const. (7.12)
^4
Величина 5 определяет 11т2. Интеграл S представляет собой интеграл от
инвариантов поля, взятый по 4-мерной области, в которой существует поле.
Он определяется не только самими инвариантами, но и топологией У4.
Если гравитационное поле рассматривается как калибровочное,
соответствующее локальной группе Лоренца, то (7.12) переходит в
S = f R^^Rnvxxdv^ const, (7.13)
^4
где - тензор кривизны Римана. Для самодуальных полей
/щд, = ±*Fl,v и дважды самодуальных Rllvx}j = ±РцУхя, интегралы (7.12) и
(7.13) являются топологическими инвариантами.
Аналогичная ситуация возникает и в отношении констант взаимо-
действия частиц с калибровочным полем. Именно: появление взаймо-
действия с калибровочным полем можно рассматривать с тех же позиций,
что и появление массового члена, т. е. как замену задачи на безусловный
экстремум для свободного лагранжиана (или безмас-
77
сового) задачей на условный экстремум с интегральными дополнительными
условиями. Так, уравнения Дирака с взаимодействием
ум- (дц if-i&IAa ф) Ч- = 0 (7.14)
а
дают экстремум функционалу S 3 = { (фу'Дцф + nvW)dv при допол-
нительном условии
= = const ФО. (7.15)
Константа взаимодействия (заряд) играет роль множителя Лагранжа и
определяется значением S4. В то же время уравнение (7.14) дает экстремум
функционалу S4 = J J%A?dv = jпри
а
дополнительном условии
=1 (фу1* Ф "г /ифф) dv - const. (7.16)
В этом случае константа взаимодействия определяется через постоянное
значение S3, причем перенормировка константы взаимодействия
соответствует изменению значения интеграла действия для свободных
("голых") частиц.
Таким образом, переход от безмассового калибровочного поля к
массивному, так же как и переход от свободных дираковских частиц к
взаимодействующим, можно представить как переход от вариационной
задачи на безусловный экстремум к требованию экстремальности того же
интеграла действия при дополнительных интегральных условиях типа (7.8),
(7.12), (7.15) или (7.16).
Спонтанное нарушение локальной калибровочной симметрии. В
современных калибровочных моделях взаимодействий элементарных частиц
для получения массы векторных калибровочных полей используется
механизм Хиггса. Для того чтобы с помощью этого механизма получить
массу векторных калибровочных полей, обычно к лагранжиану
безмассового векторного поля L = -1i,F^lF'a добавляется лагранжиан
скалярного поля Хиггса (Ьх). Затем компоненты векторного поля
заменяются линейными комбинациями векторного и скалярного полей так,
чтобы получившееся в результате векторное поле оказалось массивным, т. е.
в новом лагранжиане появились члены, пропорциональные квадрату
переопределенных компонент векторного поля. Безмассовых скалярных
полей в новом лагранжиане не остается, и поэтому говорят, что скалярные
частицы "исчезли", а векторное поле приобрело массу.
Теория возмущений строится обычно в окрестности минимума
потенциальной энергии. Этот минимум можно найти, варьируя потенциал V
(ф), который, вообще говоря, может быть сильно нелинейным по полям, т. е.
может описывать "самодействие" системы. Вторая производная
потенциальной энергии по полю, взятая в точке минимума потенциальной
энергии, называется квадратом массы поля, четвертая производная в той
же точке - константой связи.
78
Условие V = VMnH" т- е- бУ/бф = 0, можно заменить условием Si = 5iMHH,
т. е. fiSi/бф = 0, где Sx = I V (ф)dv. Тогда можно определить массу поля с
помощью метода изопериметрической задачи, изучая экстремали Si. Масса,
получаемая дифференцированием потенциальной энергии по полю,
представляет собой массу флуктуаций около фиксированного решения и,
естественно, зависит от этого решения.
Рассмотрим для простоты одно скалярное поле ф [20]. Его лагранжиан
имеет вид
= V* (^ф)2 - V (ф)) = V* (с>цф)2 + Lx (Ф)).
Уравнение Эйлера для этого лагранжиана выглядит следующим образом:
? ф = - dV (ф)/3ф.
Характер решений уравнений Эйлера зависит от вида функции
V (ф). Для того чтобы найти массу поля ф, нужно рассмотреть пове-
дение решений уравнений поля ф вблизи решения, обеспечивающего
минимум V, т. е. вблизи экстремалей -8Ьг/8(р ~ dV (ф)/3ф = 0. Если
V (ф) имеет форму V (ф) = (р/2)ф2 + (|3/4)ф4, то минимум потен-
циальной энергии достигается при ф = 0. Главный член разложения
