Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
фиксируется и определяет значение константы взаимодействия.
§ 8. Тензорные калибровочные поля и
производные Ли
Неоднородные пространства и производные Ли. В этом параграфе ОТО
рассматривается как теория калибровочного поля симметричного тензора
второго ранга в пространстве - времени с произвольной геометрией.
Калибровочной группой является группа произвольных непрерывных
преобразований координат ОТО. Вид вариаций определяется с помощью
производных Ли. Затем поле отождествляется с полем метрического тензора
и совершается переход к псевдориманову пространству-времени. Далее
обсуждается вопрос о векторном калибровочном поле и поле антисиммет-
ричного тензора второго ранга.
Группы, описывающие пространственно-временную симметрию, не
могут быть локализованы по Янгу-Миллсу. Такая операция
81
фактически приводит к совершенно другому типу геометрии пространства-
времени и другому представлению о пространстве, тогда как локализация
внутренних симметрий не изменяет,- вообще говоря, геометрии Vk. Аналогия
между ОТО и теорией Янга-Миллса может быть проведена в том случае,
если не отождествлять касательное пространство к1/4с самим
пространством-временем. Тогда можно все свойства симметрии относить к
касательному пространству, т. е. к пространству-времени Минковского, не
заботясь вначале о том, локальным свойствам V,t или глобальным
соответствует эта симметрия. Для сравнения величин, отнесенных к разным
точкам такого многообразия, расслоенного на касательные пространства,
введем операцию дифференцирования Ли. Производные Ли определяются
независимо от геометрической структуры многообразия, но они связаны с
произвольными непрерывными преобразованиями координат, т. е. с
общековариантной группой. Таким образом, если воспользоваться
производными Ли как вариациями, порожденными бесконечной группой
преобразований координат ОТО, можно получить с помощью вариационной
процедуры § 5 теорию гравитации как калибровочного поля. При этом
калибровочным полем будет поле симметричного тензора второго ранга /i^v,
который, вообще говоря, не обязательно отождествлять с метрическим
тензором пространства-времени Vi. Если такое отождествление сделать,
получится теория Эйнштейна. Уравнения Эйнштейна получаются
автоматически как уравнения Эйлера для простейшего калибровочно-
инвариантного лагранжиана L = R. Изложение следует работе [5], в которой
впервые рассматривался такой подход.
Производные Ли в римановом пространстве (или в произвольном
многообразии) вводятся следующим образом [11]. Поскольку все величины
задаются в окрестности точки, а связь между точками задается
дополнительно, для сравнения величин, отнесенных к разным точкам
пространства, необходимо ввести в каждой из этих точек две системы
координат. Одна из систем координат будет собственной, а другая-
"увлеченной" из той точки, с которой происходит сравнение. Увлеченная
система координат попросту "такая же", как во второй точке, и компоненты
сравниваемых величин в первой точке относительно системы координат,
увлеченной из второй точки, по определению, равны компонентам величин в
собственной системе координат во второй точке. Иными словами, мы просто
приписываем каждой точке кроме собственной системы координат систему
координат и все значения компонент величины, подлежащей исследованию,
отнесенные ко второй точке. Только теперь, имея в одной точке две системы
координат и два набора компонент, мы можем воспользоваться тензорным
анализом. Для этого необходимо осуществить автоморфизм (отображение)
пространства в целом на себя и сравнить изменившиеся значения компонент с
увлеченными значениями. Такое сравнение не зависит от определения
параллельного переноса, т. е. от конкретных свойств пространства, и
приводит к понятию производной Ли от данной величины. Сравнивать
величины, отне
82
сенные к разным точкам риманова пространства, не сводя их так или иначе в
одну точку, бессмысленно, так как при переходе к новой системе координат
такое равенство нарушается. Переход от собственных значений величины к
увлеченным описывается формулами, обобщающими тензорные
преобразования. Для симметричного тензора второго ранга они дают
h'^v (х) = (дх^/дх^) {dx*%!dxv)hxX (х*), (8.1)
где звездочкой обозначены увлеченные значения координат и компонент
тензора h^.
Рассмотрим непрерывный автоморфизм риманова пространства,
индуцируемый преобразованиями координат вида
X*" = xv + ^ (х)/, (8.2)
где t - параметр. Относительно таких преобразований определяется
операция, называемая дифференцированием Ли. В случае симметричного
ковариантного тензора второго ранга h^v производной Ли от него называется
выражение, легко получаемое из (8.1) как пре-
1- h*Ax*) - h,.Jx)
дел lim : му •
bt-+o bt
&L Лцг = Iх (x) dx hnv + hxv <3" Iх (x) + h",x dv ET (x). (8.3)
Если = giiv и коэффициенты связности выражаются только через
производные от g^v (риманова связность), то производную Ли можно
