Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
(Здесь к - множитель Лагранжа.)
Действительно, пусть 6и=аг (х,и, "',...) е' (x)+bf(x, и, и',...) е'Дх), где г1'
(х) - произвольные функции, исчезающие на бесконечности вместе со
своими производными;
652 = 65 + %&S1 = J [(6"В2/6") 6w+ di\ фидЬ2/ди, n)]dv =
= j [ (cti (x, u, u', ...)e' (x) + b? (x, и, и', ...)е'ц (x)) 6LJbu +
74
+div (би(дЬ2/ди, ц)) ]dv= J {[а;(6Е2/6ы)-д^ (bf8L2/8u)] ъ1 (х) +
+ div [ (bf8L2/8u + агдТ2/ди, ц)ег + b] dvel дЬ2/дит ц]} do.
Здесь 8L2/8U = dLJdu - dvdL2/dutV = дЫди - dv dL!dut v +
+ Я (dLJdu - dv dLJdu, v).
Поскольку интеграл действия S и соответствующий ему лагранжиан
инвариантны относительно G^r, в силу второй теоремы Нетер справедливы
следующие тождества:
at8L/8u з= дй (b?8L/8u). (7.1)
Тождества (7.1) справедливы независимо от того, является ли и решением
уравнений Эйлера 8Ы8и = 0, что в данном случае очень важно. Эти
тождества на экстремалях изопериметрической задачи, где 8Ы8и = -
Х8Ь118и, переходят в дополнительные условия вида
afiLJSu = dv, (IftbLJSu). (7.2)
По условиям изопериметрической задачи 8LJ8u ф 0, и поэтому условия
(7.2) имеют нетривиальный смысл. Они предстарляют собой те
дополнительные условия на полевые переменные, существование которых
утверждает теорема 3.
Вариация S2 сводится [при учете (7.1), (7.2) и 8L2/8u - 0] к интегралу от
полной дивергенции. Следовательно, если е' (х) исчезают на границе вместе
со всеми своими производными, то
6S2 = J div [afi1 dL2l8ii' ц + bv dv e' dLJdu, ^]dv =
= § (а&1 дЬ21ди, Ц + bv dve' dLJdu, ^da^ ~ 0. (7.3)
Если e' = const и Gxr переходит в Gr, то вместо (7.3) получим 6S2 = § dfi1
(дЬ2/ди, ц)^ = § J? do^ = 0, (7.4)
так как мы предположили инвариантность S и Slf а следовательно, S2
относительно Gr. Если е' (х) и 5ц е' (х) совершенно произвольны, то должно
выполняться соотношение
j? = dv (Ь?дЬ2/ди, v) = bf dLJdu + dv bf (dLJdu. v).
Это соотношение, действительно, выполняется на экстремалях. Сле-
довательно, на экстремалях 6S2 = 0. Таким образом, теорема 4 доказана.
Структура уравнений (7.2) подобна структуре условий (4.12) на внешние
источники (c), не включенные в лагранжиан. Поэтому
(7.2) , как и (4.12), можно использовать при выборе формы дополнительных
условий. Обратно: существование дополнительных условий вида (7.2)
позволяет восстановить лагранжиан.
75
В теории калибровочных полей можно взять Lx = at
b*t ->¦ 1 (стрелка означает соответствие). Тогда условия
(7.2) принимают вид
ftcAellA't = dltA4; = 0 (7.5)
вследствие полной антисимметрии структурных констант калибровочной
группы по всем индексам.
Условия Лоренца' для электродинамики получаются автоматически из
(7.5), так как соответствующие структурные константы /аС = 0. Вследствие
теоремы 4 лагранжиан массивного калибровочного поля в лоренцевой
калибровке инвариантен относительно локальной калибровочной группы на
своих экстремалях.
Экстремали изопериметрической задачи и массивные калибровочные
поля. Прежде всего заметим, что экстремали функционала 5 = J L (х, и, и', ...
)dv при дополнительном условии Sx = = J Ьг (х, и, и', ...)dv = const
одновременно являются экстремалями задачи на безусловный экстремум для
вспомогательного функционала:
S2 = S + %SX = J [L (x, и, и', ...) + %LX {x, и, и', ...) ]dv, (7.6)
где К = const - множитель Лагранжа. Иными словами, если варьирование
происходит при интегральном дополнительном условии, экстремали
приобретают вид
SL2/6h = 6L/8u + Шх/8и = 0, (7.7)
причем предполагается, что 8Ы8и Ф 0 и 8Ьх/8и Ф 0.
Из опериметрические задачи допускают обращение в том смысле, что
система экстремалей не изменится, если варьируемый функционал и
дополнительное условие поменять ролями, т. е. варьировать Sx при условии
S = const. Роль множителя Лагранжа в этом случае играет 11%, что для
однородных экстремалей не имеет значения: 8L2/6a = (ll%)8L/8u + 8Lx/8u =
0.
Условным экстремумом можно воспользоваться для изменения
симметрии задачи, например для перехода от Gcw-инвариантной теории к
G,-инвариантной. Для этого достаточно выбрать инвариантным
относительно Gr, если S инвариатен относительно G^r- Таким способом
можно ввести массу калибровочного поля и тем самым снять ограничение т
= 0. В самом деле, рассмотрим следующую вариационную задачу: найти
экстремум функционала
S = - I F^vF^vdv, где F^ - д[]ХА%^ -11-ЛсА^Ауj - тензор напря- V*
женности калибровочного поля; - вектор-потенциал этого поля, при
условии, что другой функционал
Si = { Aa^A^dv - b ~const =?0,
(7.8)
Здесь а - 1, г, где г - число параметров калибровочной группы; р, = 1, ...,
4 - пространственно-временные индексы; У4 будем считать конечной
областью.
Согласно общему правилу, составим вспомогательный функционал
Sa=:S+^S1 = f {-F-V^+M-A^)dv (7.9)
V4
и найдем его экстремум. Найденная экстремаль будет также экстремалью
для S, удовлетворяющей условию (7.8). Постоянные интегрирования и
константу X находят затем из граничных условий и дополнительного
