Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
где /к = ajdUdu.;(1. Равенство (4.17) выполняется при любых га(х) и
обеспечивает инвариантность интеграла действия относительно Gxr, а также
справедливость обратной второй теоремы Нетер.
Если учесть уравнения Эйлера ЬЫ8и = 0, то div [Jvpa(x) - bldvea(x)
dUdutV) = 0. (4.18)
Левая часть уравнения (4.18) представляет собой с точностью до знака не
что иное, как вариацию лагранжиана после учета уравнений Эйлера и
связывающих их тождеств. Таким образом,
бL = - {д^"га(х) + [/? - dv {b%dL/du,v)] d^sa(x) -
- ??dMVe°(x) dL/du,"}. (4.19)
Так как параметрические функции совершенно произвольны, условие
экстремальности действия приводит к равенству нулю коэффициентов в бL
при sa(x) и их производных:
ад = 0; (4.20)
J" = dv(b"dL/du,vy, (4.21)
bvadUdutV, + b%dL/dU'V = 0. (4.22)
Таким образом, инвариантность интеграла действия относительно
бесконечной группы приводит на экстремалях к обычному закону
сохранения (4.20) для тока /? = аадЫди,ц, соответствующего
62
Gr-инвариантности. Но этот ток равен [в силу условий (4.21) и (4.22)]
дивергенции от некоторого антисимметричного тензора. Поэтому
соответствующий заряд Q = J J°d3x в силу теоремы Гаусса всегда
представим в виде интеграла по замкнутой 2-мерной поверхности: Qa = |
(dL/duj)bada'.
Если лагранжиан не инвариантен относительно Gxr, но уравнения
Эйлера и тождества Нетер выполнены, из соотношений (4.19) получаем
следующие уравнения:
дЫ!дга(х) = d^J*; (4.23)
ddL/dd^ix) = J"- dv (b^dL/du, v) = - b^dL/du - dvb^dL/du:V;
(4.24)
dbL/ddnv&a(x) = b%'dL/du,lx = 1/2 (b'flL/ди^ + b^dLldutV). (4-25) Если
полевые переменные преобразуются относительно G^r однородно, т. е. = 0,
то уравнения (4.23) и (4.24) переходят в уравнения, предложенные Гелл-
Маном и Леви (1960 г.) [1]:
56L/dd^ix) = Jg; дШдга(х) = d^Jg.
Эти уравнения для лагранжиана, описывающего массивное калибровочное
поле (с нарушенной локальной калибровочной инвариантностью), приводят к
пропорциональности тока и поля: J& ~ т2А%,
§ 5. Локальная калибровочная
инвариантность лагранжиана и
вторая теорема Нетер
Вторая теорема Нетер и калибровочные поля общего вида. П о -
строение инвариантных лагранжианов. Поставим
следующую задачу: найти простейший лагранжиан, содержащий
производные от полевых переменных Л" не выше первого порядка и
инвариантный относительно локальной калибровочной группы, если
преобразования имеют вид
= ft АиеЬ + д^а' а = 1> •••> г' В = •••' 4> (5Л)
где fabc - структурные константы некоторой конечной группы Ли, га -
параметры. Вектор-потенциал калибровочного поля Аа можно понимать как
мультиплет г (по числу параметров калибровочной группы) векторных полей
Апричем калибровочная группа перепутывает эти поля.
Преобразования (5.1) образуют группу G^r, причем вид вариации 8Л"
соответствует случаю Ах = 0; 8Л^ = 8Л". Иными словами, преобразования
Gocr надкоординатные (координаты не затрагиваются или фиксируется
точка х).
Используя вторую теорему Нетер, построим интеграл действия "S = J7, (А";
А " v) dv, инвариантный относительно G^. Соотношения
ФЗ
(4.3) , являющиеся дифференциальными условиями инвариантности S,
принимают вид
(6Е/6Л")6Л" = д[-(дША°^)ЬА°}. (5.2)
Подставим в (5.2) <5Л" и, поскольку (5.2) должны выполняться
тождественно, приравняем нулю коэффициенты при еа(х), <3^6" (я) и
dMVea(x) по отдельности. Тогда условия инвариантности S запишутся в виде
системы тождеств, решая которую снизу вверх получим общий вид
зависимости L от Л ° и Л " v [3]:
+ ПЛ ,(дЫдА^) = 0; ' (5.3)
ат/ал" + ц А^дЫдАЛ) ^ о; (5.4)
L/ал- v ^ 0. (5.5)
Из (5.5) следует, что производные от Л а входят в L только через
\
антисимметричные выражения Л^ v]. Используя (5.5), из (5.4) получаем
F^L(P^), (5'6>
где
Нетрудно убедиться, что Falv преобразуется относительно (5.1)
однородно:
§ pa =fa F° Sb. (5.7)
JIV 1 be |1V ' '
Поскольку структура E"v напоминает максвелловский тензор поля, назовем
тензором напряженности поля Л". Учитывая
(5.7) , из (5.3) получаем
1=1{Р;ЛгсПгЬРЧх)- (5.8)
Введем величину
F^v = fz !cmb F^v = gab Fb^. (5.9)
Ее закон преобразования bFa[iV = fbacF ъ^ъ0 ¦ В этом случае (5.8) переходит
в
L = L(F^vFaxX). (5.10)
Величина gab = f(tm)cfcmb симметрична по а, b в силу тождества Якоби. В
дальнейшем она будет использоваться как внутренняя метрика. Матрица gab
не вырождена только для полу простых групп, для которых fb
антисимметричны по всем значкам.
Простейший калибровочно-инвариантный, а также релятиви- стски-
инвариантный лагранжиан имеет вид
= (5.Н)
Произвольный инвариантный лагранжиан есть произвольная функция L0;
L0 называют лагранжианом свободного калибровочного поля.
Теперь определим общий вид лагранжиана взаимодействия Ф1 Ф>ч)>
инвариантного относительно Gxr и зависящего от двух видов функций и их
производных: от вектор-потенциалов калибровочных полей Л", содержащих
в преобразованиях первые производные от параметров, и от волновых
функций полей ф, преобразующихся однородно и соответствующих
