Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
виде; = 0. Для абелевых
групп закон сохранения, полученный таким образом, по-прежнему
однороден: = 0.
Массивные калибровочные поля и дополнительные условия. Как
было отмечено, тождества Нетер, обеспечивающие инвариантность
интеграла действия относительно бесконечной группы, выполняются
независимо от того, являются ли полевые переменные решениями уравнений
Эйлера для этого действия. Они могут выполняться и в том случае, если
уравнения движения инвариантны лишь относительно конечной группы, в
которую переходит GMr при га(х) = const. Но тогда тождества Нетер
приводят к дополнительным условиям на полевые переменные,
устраняющим лишние компоненты.
Предположим, что вектор-потенциалы калибровочного поля
удовлетворяют не уравнению (5.18), а уравнению с массой
Vv^v - т2А% = 0,
которое можно записать так: бЕ0/бЛ^=тМ^.
68
Тогда тождества Нетер приводят к условиям лоренцевой калибровки для
т^"А" = т\д^а - ЦА^ Л**) = 0. (5.27)
Поскольку для простых групп структурные константы антисимметричны по
всем индексам, при т Ф 0 условия калибровки сводятся просто к = 0.
Когда уравнение экстремали ЬЬ0/дА% = 0
удовлетворяется (т2 = 0), дополнительные условия на вектор- потенциалы
не возникают. Оба случая можно записать в виде соотношения
прил.^0,
а (произвольно при т2 = 0.
Существование тождеств, связывающих уравнения поля и производные
от них, в силу справедливости обратной второй теоремы Нетер говорит об
инвариантности соответствующего лагранжиана относительно бесконечной
группы. Действительно, если установлено, что калибровочные условия на
вектор-потенциалы можно получить как следствие тождеств Нетер между
уравнениями поля, производными от них и обычными законами сохранения,
то, используя коэффициенты в тождествах как коэффициенты бесконечной
группы GXT, можно по соответствующим вариациям полевых переменных
восстановить лагранжиан. Тождествам Нетер при наличии дополнительных
условий удобно придавать вид [5]
аа (8ЫЬи - 0) " [Ь"{Ш8и - 0)], (5.29)
где (SL/6u - 0) соответствует инвариантной относительно GxT части
уравнений Эйлера; 0 - источники и все члены, нарушающие Goor-
инвариантность. Поэтому, если рассматриваются не только калибровочные
поля, но и другие, взаимодействующие с ними (например, спинорные),
выполнение дополнительных условий для калибровочного поля, связанных с
тождествами Нетер, возможно лишь при выполнении определенных законов
сохранения для других полей. В самом деле, из (5.24) следует, что \Д (SL/бЛ
") = Следовательно,
т2д"А% = У.Л- (5.30)
§ 6. Обратные теоремы Нетер
Первая обратная теорема Нетер. Если г линейно независимых комбинаций
лагранжевых производных обращаются в дивергенции {т. е.
выполняется соотношение (4.6), то интеграл действия инвариантен
относительно r-параметрической конечной группы Ли. Для дока-
зательства нужно провести рассуждения § 4 в обратном порядке. Именно:
пусть выполняется соотношение
Фа (х, и, мД ЬЦЬи = д^ч. (6.1)
69
Умножим обе его части на е" и просуммируем по а. Учитывая, что е° -
числовые параметры, внесем их под знак дивергенции в правой части
соотношения (6.1). Введем обозначения:
6и = ц>а(х,и,и11)еа-, бхи = - (e°/L) (j? +срадЦдиц);
б и - б и -7- Ыд га = 8и (е°/ L) (Jq -j- фа dL/du(Х) =
= -(e"/L)(u^ + Tq>o + 3L(p0), где Г=7>.
(6.2)
Тогда получим, используя (4.3), соотношение (4.2): бL + + div (LAx) = 0.
Интегрируя это выражение по произвольнойоб- ласти dx, получим равенство
65 = 0, означающее инвариантность интеграла действия относительно
бесконечно малых преобразований, определяемых величинами (6.2). Случай
6х^ = 0, т. е. Jb = = - (dL/duц) фа, отвечает надкоординатным
преобразованиям внутренней симметрии.
Конечные преобразования можно найти, интегрируя уравнения типа
dx^/dt = ^ при соответствующих начальных условиях. Здесь t - текущий
параметр на однопараметрических подгруппах.
Из предположения о том, что должно быть г и только г независимых
соотношений дивергенций, следует, что конечные преобразования,
соответствующие (6.2), образуют группу. В противном случае два
преобразования, выполненных подряд, могли бы привести к новому
преобразованию, не принадлежащему к классу (6.2), а поскольку
относительно него интеграл действия также был бы инвариантен, появились
бы новые соотношения дивергенций, незави- висимые от (6.1), что
противоречит предположению.
Вторая обратная теорема Нетер. Если имеет место г тождественных
соотношений между лагранжевыми производными и производными от
них до k-го порядка включительно, то интеграл действия ин-
вариантен относительно бесконечной группы Gxr, преобразования
которой содержат производные до k-го порядка. Доказательство
аналогично предыдущему случаю.
Существование зависимостей (4.11) ведет после умножения на е°(х) и
сложения, а также использования тождественных преобразований к
уравнению (4.10), а из него вытекают определения бхибц и инвариантность
интеграла действия относительно этих преобразований. То, что полученные
