Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
основании тождества
Ф (х, и, и', ...) дге(х) 1дхх =(- 1)т(дтф 1дхх) е(х) mod div можно заменить
производные от га (х) самими функциями. Тогда (4.3) примет вид
[ааЬЫЬи-д^ (Ь^ЬиЬи)] ва (х) = - div (В^ + Ь%еа8Ь/8и). (4.10)
В отсутствие вторых производных в лагранжиане В** = (дЫди,ц) аа
{х, и, и', ...) ва + LAx11 + ЬхадфадЫди,^.
Если теперь проинтегрировать (4.10) по какой-либо области, на границе
которой е"(х) со всеми своими производными исчезают, интеграл от правой
части (4.10) обратится в нуль*. Тогда из 8S = = 0 следует
j [аа ЬЫ8и - сф(Ь(|6L/6")]e°(x) dx - 0.
В силу произвольности функций 8" (х) отсюда вытекает равенство нулю
выражения в квадратных скобках:
а,8Ы8и = д^ШЬи). (4.11)
Это искомые зависимости между лагранжевыыи производными и про-
изводными от них. Соотношения (4.11) линейно независимы и справедливы
также для конечных преобразований GxT. Этим соотношениям можно
придать вид ковариантного закона сохранения V|i (б? 8Ы8и) = 0, если ввести
связность Г*о = маА*, где hb определяется условием - б*.
Для перехода от бесконечно малых преобразований Gxr к конечным
существенно, чтобы: а) б и и бх были линейны относительно га (х) и их
производных; б) б и и бх не содержали производных от и, поскольку в
противном случае конечные преобразования Gxr зависят от бесконечного
числа производных от и. Соотношения (4.11), как и (4.5) для Gr,
справедливы для любых функций и, независимо от того, являются ли они
решениями уравнений Эйлера или нет.
* Поскольку утверждение второй теоремы Нетер состоит в том, что ин-
вариантность относительно бесконечной группы порождает тождественные
соотношения между экстремалями, для доказательства теоремы достаточно среди
произвольных функций ъа(х) отыскать такие, которые обращаются в
нуль вместе со своими производными на поверхности интегрирования.
60
Как и раньше, рассмотрим два случая:
1. Пусть и - экстремаль, т. е. ЬЫЬи - 0. Тогда из (4.11) следует
д^ф^дЬ/би) = 0.
Это выражение дает способ получения законов сохранения из уравнений
поля с помощью дифференцирования.
2. Если и удовлетворяет уравнению 6L/Su = 0, где G - новые
функции, то из (4.11) получаем дополнительные условия на 0:
= аа0. • (4.12)
Роль 0 могут играть также члены, нарушающие G^r-инвариант- ность
уравнений поля, но инвариантные относительно GT, например массовые
члены в калибровочно-инвариантной теории. Тогда тождества Нетер
приводят к дополнительным условиям на полевые переменные,
исключающим лишние степени свободы. В самом деле, пусть 8L/6u = Хи,
где X = const. Тогда д^ф^и) = ааи.
Слабые и сильные, или собственные и несобственные, законы со-
хранения. Законы сохранения (4.7), полученные с помощью первой теоремы,
Нетер называет собственными законами сохранения. Их также называют
иногда слабыми законами сохранения, так как они выполняются только на
экстремалях. В отличие от слабых законов сохранения, связанных с Gr-
инвариантностью лагранжиана, инвариантность относительно бесконечной
группы приводит к сильным законам сохранения, выполняющимся не только
на экстремалях, но и для любых и. Сильные законы сохранения на самом
деле являются записью тождеств Нетер. В теории калибровочных полей, как
и в ОТО, возникают сильные законы сохранения именно такого типа. Эти
законы сохранения--несобственные, так как в качестве сохраняющегося тока
в них фигурируют линейные комбинации экстремалей. Примером такого
сильного (несобственного) закона сохранения может служить тождество,
которому удовлетворяют уравнения Эйнштейна:
(.R= 0. (4.13)
В § 8 показано, что оно является частным случаем тождеств Нетер для GOTi,
которые в общем случае выглядят следующим образом:
(бЩеГ)^ s о, (4.14)
где L - плотность функции Лагранжа.
Тождества Нетер для электродинамики имеют вид
аи(б1/бЛд) = 0. (4.15)
Если источников нет, a L = - 1/4/7*iV.FM,v, то (4.15) означает dudvF^ = 0.
(4.16)
61
Интегрирование этого закона сохранения приводит к теореме Гаусса
относительно потоков электрического и магнитного полей через замкнутую
двумерную поверхность: j,Hda = 0; |Edo = 0.
о о
Если источники поля появляются как правая часть уравнений Эйлера, из
(4.14) и (4.15) получаем известные законы сохранения тока источников в
электродинамике и тензора энергии - импульса в гравитации: =
0; = 0. Оба эти закона сохранения
являются следствиями тождеств Нетер, т. е. дополнительных условий на
уравнения поля, и поэтому естественно понимать их как условия на
источники. Любопытно, что эти условия на источники абсолютно
безразличны к конкретному виду экстремалей, т. е. к виду левых частей
уравнений, в которых они стоят. Важно лишь, что эти левые части
инвариантны относительно бесконечной группы. Таким образом, законы
сохранения (4.14), (4.15) не чувствительны к конкретной структуре
инвариантной относительно GxT части лагранжиана.
Из (4.10) при выполнении тождеств Нетер (4.11) следует равенство
div \JHa(x) - bvdxza(x) дЫди)(i - Ь%еа(х) 6L/6n] = 0, (4-17)
