Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
потенциале Ф находится на втором этапе. Для этого необходимо решить
уравнения состояния, получающиеся из общих уравнений
(15.2) после подстановки в них конкретного типа решения заданной
симметрии.
Следующим шагом в построении фазовой диаграммы является выявление тех
решений уравнений состояния, которые отвечают минимуму потенциала Ф. Для
этого необходимо составить определитель из вторых производных потенциала
пй компонентам т?л. Подставив туда решения уравнений (15.2) и потребовав
положительной определенности всех главных миноров:
11 Э2 Ф/Эт}лЭт}м II > О (X,д = 1,2,..., /"), (15.3)
можно найти, при каких соотношениях между коэффициентами потенциала Ф
данное решение отвечает минимуму. Знак равенства в (15 .3) дает выражение
для границы устойчивости исследуемой фазы. . ,
Завершающим этапом в построении фазовой диаграммы является исследование
положительной определенности исследуемого потенциала. Анализ первых и
вторых производных потенциала по параметрам г)х дает информацию о
поведении Ф в окрестности локальных экстремумов в зависимости от
значений'феноменологических коэффвдиентов в выражении
105
(15.1); при этом в остальных областях пространства переменных г)к
поведение потенциала Ф остается неконкретизированным. Очевидно, что можно
выделить две возможности. В одной из них при возрастании параметров 1?х
вдоль любого направления в многомерном пространстве параметра порядка rf
значение потенциала Ф непрерывно растет. В этом случае найденные из
условий (15.2) и (15.3) локальные минимумы описывают устойчивые состояния
системы, в которые она может переходить в результате фазового перехода.
Вторая возможность состоит в том, что при определенных значениях
коэффициентов потенциала хотя бы в одном из направлений в пространстве
параметров т?х потенциал Ф становится отрицательным и его абсолютное
значение растет с ростом ук. В этом случае локальные минимумы описывают
метастабильные состояния, поэтому в рамках выбранной модели потенциала
(15.1) при построении фазовой диаграммы в пространстве феноменологических
коэффициентов необходимо выделить область положительной определенности
потенциала Ф, в которой локальные минимумы описывают устойчивые
состояния. В случае необходимости исследования потенциала со значениями
коэффициентов, при которых нарушается условие положительной
определенности, необходимо учитывать следующие члены разложения в ряду
(15.1).
Сформулируем теперь схему исследования термодинамического потенциала
(15.1) на положительную определенность. Очевидно, что поведение Ф при
больших значениях параметров г)х определяется слагаемым наивысшей степени
в выбранной модели Ф" (V\)- Удобно перейти к новым переменным 1?^, для
чего положим т?^ =Rr)\, где/?2 = 2 т?\, а величины у'\ удовлетворяют
условию х
Тогда величина Ф" (У\) переходит вЯп Ф" (т?'л), и условие положительной
определенности Ф" (%) сводится к требованию положительной определенности
величины Ф" (г)'\ ) на многомерной сфере единичного радиуса, задаваемой
уравнением (15.4). Величина Ф" (т?^) будет положительно определенной,
если она положительна в точках минимума на сфере (15.4). Последние
находятся из уравнений
Здесь ц - неопределенный множитель Лагранжа. Найденные из уравнений
(15.5) координаты экстремумов т?^0 подставляются в Ф", и требуется
выполнение условия Фп (y'kQ) > 0, откуда следуют неравенства на
коэффициенты, входящие в Ф" (т?л).
Необходимые теоремы из алгебры многочленов. Перечисленные выше этапы
являются начальными ступенями для построения самой фазовой диаграммы.
Наибольшие усилия требуются для отыскания границ устойчивости фаз. Для
этого необходимо совместно решать уравнения (15.3) (в случае знака
равенства) с уравнениями состояния (15.2). Практические методы такого
анализа фазовых диаграмм были разработаны Гуфаном с сотрудниками [1-3].
Они основаны на использовании хорошо известных понятий в алгебре
многочленов.
А.
(15.4)
ЪФп1Ьух, = 0, Ф" =Ф" (^) + д(2т?*2 -1).
(15.5)
106
С математической точки зрения проблема сводится к нахождению общих корней
многочленов
/00= д0 хп +д, х"'1 + .. .+а"_1 х +д",
(15.6)
g(x) = b0 xs + i"i xs
, + bs_lX + bs
(д0 ФО,Ь0 ФО).Ъ качестве многочлена/(х) можно взять равенство нулю одного
из главных миноров (15.3), а уравнение состояния играет роль многочлена g
(я).
Из алгебры многочленов [4] следует, что два многочлена /(х) и g (х) тогда
и только тогда имеют общие корни, когда результант R (/, g) этих
многочленов равен нулю. Результантом же R (/, g) называется определитель
R(f,g) =
"0 а 1 ап 0 0 .. 0
0 а0 "1 ап 0 :. о
0 0 0 .. . 0 ао а 1 • • "п
Ь0 bi bs 0 0 .. 0
0 bo Ьг bs 0 .. 0
0 0 0 bo 6, . .. bs
s строк
(15.7) п строк.
Уравнение R (f,g) = 0 определяет границу устойчивости данной фазы в
пространстве параметров потенциала. Далее необходимо найти
"линии"(поверх-ности) фазовых переходов. В тех случаях, когда области
устойчивости двух соседних фаз не перекрываются, граница устойчивости,
