Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
груш, реализующихся в трехмерном пространстве, только пять групп, Т, Th ,
Td, О и О/,, имеют трехмерные неприводимые векторные представления. ЦРБИ
этих групп составляется из блоков
/, =vi 2 +vi. I2 =Г11Пгт, h =t?i-+t?1 +r?t
/4 = т?1(т?! - т?з) + тгё0?з - 4i) + Пз(т?1 - vl) и имеют вид
T(IuI2,h,I4\ Td(IuIз,/2), 7а(/ь/э./4./3), }
OiluhJlhh), Oh{I"hJ\).
96
Многокомпонентный параметр порядка. Дальнейший анализ /-групп сводится к
работе с многомерными точечными группами, математический аппарат которых
развит в значительно меньшей степени, чем для двумерных и трехмерных
групп, поэтому тот метод вывода /-групп, который был использован раньше в
пространстве параметра порядка с /" > 4, оказывается практически
неприменимым без предварительного табулирования Многомерных точечных
групп.
В настоящее время в литературе не существует исчерпывающих таблиц
четырех-, шести-, восьмимерных /-групп. Существующие таблицы многомерных
/-групп созданы либо для некоторых классов [1.4], либо для описания
фазовых переходов определенного типа [16, 17]. Как указывается в [11] ,
всего существует 36 четырехмерных /-групп (34 группы по данным работы
[15]). Наименьший порядок этих групп равен 8, а наибольший рарен 384. /-
группы, имеющие порядок больше 48, возникают в случае фазовых с.реходов с
к Ф 0 за счет матриц НП пространственных групп, отвечающих трансляциям,
не сохраняющимся в новой фазе.
В работе [17] в результате анализа НП всех 230 пространственных групп,
нумеруемых лифшицевскими звездами, были выявлены 32 шестимерные /-группы,
порядок которых меняется от 48 до 1536-
/-группы и группы вращений в многомерном пространстве. Очень часто для
анализа фазовых переходов достаточно иметь дело с оборванным
полиномиальным рядом для потенциала, учитывающим члены по степеням
параметра порядка не вышё четвертой. Введение понятий пространства
параметра порядка, вектора т? = Oh > Viv) в этом пространстве и /-групп
позволяет, не перебирая всех НП пространственных групп, а исходя из
симметрии пространства параметра порядка, перечислить все возможные виды
модельных потенциалов. Так, все виды потенциалов в модели г?4 для
четырехкомпонентного параметра порядка были выведены в работе [15].
Мы упоминали в начале данного параграфа, что все /-группы, которые
возникают при анализе фазовых переходов, должны быть подгруппами группу
вращений 0(1") в /"-мерном пространстве, имеющими неприводимые векторные
представления. В соответствии с [15] будем называть такие подгруппы
неприводимыми. Например, неприводимыми подгруппами трехмерной группы
вращений являются группы куба (Т^,0, O/j), тетраэдра (Т, Tj) и икосаэдра
(Y, Y/,). Список всех неприводимых подгрупп группы о'(4) приведен в
работе [15], однако для групп вращений размерности выше четырех
определенных сведений в литературе не имеется.
Рассмотрим набор различных комбинаций из компонент параметра порядка вида
-, где 1? = /" ИР1+Р2 + - +р/" - р- Число таких комби-
наций равно с? + p_j. Например, для двухкомпонентного параметра порядка
(/" = 2) можно составить с4 - 5 различных комбинаций четвертого порядка
(р - 4): i?4, i?4, 171 т?|, т?*т?2. Каждую такую комбинацию
р ' '
можно рассматривать как орт сп +р -мерного векторного пространства
[ Vf*]. Тогда любому набору инвариантов, характеризуемых группой /, можно
сопоставить свое подпространство Ер в пространстве.-Размерность под-
t '
пространства ?р, т.е. число инвариантов степени р, обозначим ср{1).
97
Очевидно, что один и тот же набор инвариантов данной степени может
входить в ЦРБИ для разных /-групп? что следует из самой процедуры
построения ЦРБИ, основанной на постепенном выводе инвариантов для групп,
образующих нормальный ряд. Максимальную /-группу, отвечающую данному
набору инвариантов степени р, т.е. реализуемую в подпространстве Ер,
будем называть централизатором [15] и обозначать1р.
Группу /р можно рассматривать как стабилизатор подпространства Ер.
Разлагая группу 0 (/") в смежные классы по стабилизатору 1р, можно
выделить представители разложения gp и, действуя этими представителями
на подпространство Ер, построить приводимое представление централизатора
/р. Тогда кратность вхождения в это представление единичного
представления будет равна ср (/), т.е. числу инвариантов степени р,
образующих
подпространство Ер.
Эти рассуждения позволяют сформулировать основные этапы конструирования
инвариантов, составляющих термодинамические потенциалы. На первом этапе
для /"-мерной группы вращений О (/") следует выделить векторное
представление Гр. Из всех подгрупп группы О (/") в качестве возможных /-
групп необходимо взять только неприводимые подгруппы, т.е. подгруппы,
имеющие неприводимое векторное представление группы вращений О (/"). На
втором этапе необходимо выяснить состав симметри-
зованных степеней векторного представления [Гр]. Из НП группы 0(JV),
входящих в [Гр], отобрать те, ограничение которых на подгруппе/содержит
единичное представление. Кратность вхождения единичного представления
